Bijections input-terbatas dari sekuens tak terbatas

Ini adalah teka-teki yang belum berhasil saya pecahkan. Saya ingin tahu apakah masalah ini sudah diketahui, atau memiliki solusi yang mudah.

Dimungkinkan untuk mendefinisikan sebuah bijection menggunakan properti dari kategori tertutup bicartesian. Andrej Bauer memposting penjelasan tentang apa artinya ini di blognya sebagai " Permata konstruktif: juggling eksponensial ".$3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N}$

Bijection ini memiliki sifat yang menarik: itu adalah "input-terikat" yang berarti bahwa setiap komponen output hanya bergantung pada banyak komponen input. Namun, untuk tampaknya konstruksi ini hanya dapat menunjukkan bahwa dan adalah isomorfik jika k dan l keduanya ganjil atau keduanya genap. Ini membuka pertanyaan:k N l N k $k,l\geq 2$$k^\mathbb{N}$$l^\mathbb{N}$$k$$l$

Apakah ada input input terbatas dari $2^\mathbb{N}$ hingga $3^\mathbb{N}$ ?

Berikut ini adalah catatan singkat yang menjelaskan masalah ini secara lebih rinci: Sebuah dugaan tentang bijections input-terbatas dari sekuens tak terbatas .

Definisi:

Fungsi $f : \prod_{i \in I} X_i \rightarrow \prod_{j\in J} Y_j$ adalah input-terikat jika ada bilangan bulat $k$ sehingga setiap komponen output $f$ hanya bergantung pada paling banyak komponen $k$ dari input. Secara lebih formal, $f$ dibatasi-input jika untuk setiap indeks $j \in J$ ada indeks $i_1,\dotsb,i_k \in I$ dan fungsi $f_m : X_{i_1}\times\dotsb\times X_{i_k} \rightarrow Y_j$ sedemikian rupa sehingga untuk semua $x \in X$ komponen f (x) _j$f(x)_j$ sama dengan $f_j(x_{i_1},\dotsb,x_{i_k})$ .

Bijection $f$ adalah bijih input-terikat jika itu adalah fungsi input-terikat.

Sebuah bijection $f$ adalah isomorfisme input-terikat jika ia dan fungsi inversnya adalah fungsi input-terikat. Ini juga menarik.

Saya bukan pria teori CS. Tetapi dalam teori ergodik, jenis pemetaan ini dikenal sebagai isomorfisme finiter . Sebagai contoh, orang mempertimbangkan jika dua urutan Bernoulli dengan entropi yang sama adalah isomorfik atau tidak. Misalnya (ini adalah pergeseran satu sisi karena sepertinya Anda lebih mementingkan daripada ): P $P^{\mathbb{N}}$$P^{\mathbb{Z}}$

A. Del Junco, "Kode-kode finansial antara Bernoulli satu sisi bergeser," Ergodic Theory Dynamical Systems, vol. 1, hlm. 285–301, 1981.

PS Saya bermaksud untuk meninggalkan ini sebagai komentar tetapi saya tidak bisa karena kurangnya reputasi. Beri tahu saya jika ini benar-benar di luar topik maka saya akan menghapusnya.

Saya pikir isomorfisme antara dan 2 N harus disediakan oleh setiap kumpulan awalan biner eksklusif dan lengkap ukuran k , misalnya untuk k = 3 kita bisa kita "0", "10", dan "11". Secara umum, kita dapat menggunakan "0", "10", "110", ..., "11 ... 10", "11 ... 11" di mana yang kedua hingga terakhir memiliki k - 2 dan terakhir memiliki k - 1 .$k^\mathbb{N}$$2^\mathbb{N}$$k$$k = 3$$k - 2$$k - 1$

Sifat eksklusif dan lengkap memungkinkan kita untuk mendefinisikan kebalikan ( ) dengan cara yang jelas.$2^\mathbb{N} \to k^\mathbb{N}$

The boundedness ke arah depan mudah karena masing-masing digit masukan menyediakan setidaknya satu angka output th digit biner mudah ditentukan oleh tidak lebih daripada yang pertama saya k -ary digit.$i$$i$ $k$

Keterbatasan dalam arah mundur sedikit lebih buruk. Dengan koleksi awalan saya berikan di atas masing-masing digit -ary "berbunyi" dari paling k biner digit dan jadi saya th k -ary digit ditentukan oleh tidak lebih daripada yang pertama k i digit biner.$k$$k$$i$$k$$k i$