Apa yang salah dengan argumen

9

Berikut ini tidak diyakini benar:

LLuniform NC1

Bisakah Anda membantu saya melihat di mana argumennya rusak?

Masalah reachability yang diarahkan selesai untuk . Saya berpendapat bahwa ini adalah dalam L- seragam N C 1 .LLNC1


Masalah reachability diarahkan lebih grafik konfigurasi deterministik log-ruang Turing Machine selesai untuk .L

Masalah keterjangkauan yang diarahkan adalah dalam :MSO2

diberikan dan t , biarkan P mewakili bebas M S O variabel untuk tepi di jalan. Kita perlu memverifikasi bahwa P berisi lintasan terarah dari s ke t yang dapat dilakukan dengan memverifikasi bahwa derajat-dan-derajat (dalam P ) dari setiap insiden titik pada tepi dalam P adalah 1 kecuali untuk s dan t yang memiliki in-degree, out-degree = 0 , 1 dan 1 , 0 masing-masing.stPMSOPstPP1st0,11,0

Setiap hutan adalah grafik lebar pohon . Secara khusus, grafik konfigurasi dari mesin Turing ruang log deterministik adalah struktur lebar pohon yang dibatasi.1

Dari versi Teorema Bodlaender dan Courcelle versi Elberfeld, Jakoby, dan Tantau :

rumus atas struktur pohon-lebar dibatasi dapat dievaluasi dalam log-ruang.MSO

Buktinya berlangsung seperti ini: Untuk ukuran struktur diberikan , sebuah terikat di pohon-lebar struktur w , dan M S O rumus φ dengan kosakata τ , membangun (dalam L ) membangun # N C 1 sirkuit C .nwMSOφτL#NC1C

Rangkaian diberi struktur M ukuran n dan pohon-lebar paling w , menghitung jumlah "memuaskan" tugas dari φ pada M .CMnwφM

(Histogram menabulasi jumlah penugasan ke variabel urutan kedua bebas di parameter pada ukuran set nilai yang diambil oleh variabel).φ

Saya pikir sirkuit hanya tergantung pada kosakata τ , batas lebar pohon d , dan ukuran struktur n .Cτdn

Buktinya berlanjut dengan mengevaluasi rangkaian di tetapi kita tidak membutuhkan bagian itu.#NC1L

Bagi kami cukup untuk mengamati bahwa dari Nondeterministic ComputationNC1 oleh Caussinus-Mackenzie-Therien-Vollmer:

setiap sirkuit dapat diartikan sebagai penghitungan jumlah pohon bukti dari sirkuit N C 1 .#NC1NC1

Dengan demikian sesuai sirkuit output jika dan hanya jika memenuhi struktur input M S O rumus.1MSO

Dari penjelasan di atas, nampaknya log-space setidaknya dalam logspace-uniform NC1

SamiD
sumber
3
Argumen keterjangkauan MSO Anda tidak sepenuhnya benar: argumen ini hanya akan berfungsi jika subgraf yang diinduksi oleh simpul adalah jalur terarah, yang bukan merupakan kasus pada umumnya (contoh tandingan trivial adalah pasangan simetris dari tepi terarah). Cara yang benar untuk melakukan reachability dalam MSO adalah dengan menyatakan bahwa setiap set simpul yang berisi s dan ditutup di bawah relasi tepi juga termasuk t . Pst
David Richerby
2
@SamiD Saya memberikan contoh-counter terkecil, yang kebetulan merupakan grafik simetris. Tapi 3-simpul graph dengan tepi diarahkan , b c , c a bekerja sama dengan baik: jalan diarahkan unik dari sebuah ke c adalah sebuah b c tapi set { a , b , c } tidak memuaskan rumus Anda karena, dalam subgraph yang diinduksi oleh { a , b , c } (yang merupakan keseluruhan grafik), aabbccaacabc{a,b,c}{a,b,c}atidak memiliki derajat nol dan tidak memiliki derajat nol. c
David Richerby
2
@ David Titik dibuat dengan baik - formulasi asli saya adalah kereta - Saya berharap satu ini ok: Saya menganggap satu set tepi bukannya simpul dan melihat tingkat simpul wrt ke tepi ini - mereka harus sama seperti sebelumnya. Terima kasih untuk contohnya.
SamiD
2
@ Kaveh Terima kasih atas perubahan - mereka membuat pertanyaan lebih mudah dibaca. Saya mengklarifikasi masalah yang Anda angkat - dalam pemahaman saya EJT membuat rangkaian aritmatika log-kedalaman di L dan kemudian masalahnya jatuh di L karena penahanan CMTV # NC1 \ subseteq L. Tapi kami berhenti pada titik sirkuit dibuat dan secara sintaksis mengubahnya menjadi sirkuit NC ^ 1. Konversi dll dapat dilakukan dengan mudah. Saya mengonversi NC ^ 1 / poli ke L-uniform NC ^ 1 juga karena lebih akurat.
SamiD
2
@ Kaveh: 1. Mengubah setiap dari # N C 1 -circuit C ke dan ke akan membuat sirkuit N C 1 C sehingga C menghitung jumlah pohon bukti C . +#NC1CNC1CCC
SamiD

Jawaban:

6

Faktanya, rangkaian tergantung pada struktur input, tidak hanya pada ukuran struktur input. Kami mengambil dekomposisi pohon grafik dengan warna tambahan dan mengubahnya menjadi pohon konvolusi. Evaluasi rumus pada pohon ini dikurangi untuk menghitung nilai pohon konvolusi. Untuk menghitung nilai pohon, itu diubah menjadi sirkuit aritmatika. Karenanya kita tidak mendapatkan satu sirkuit untuk setiap ukuran input seperti yang diperlukan untuk , melainkan satu sirkuit untuk setiap input tunggal.NC1

Sebastian Siebertz
sumber