Set penutup frekuensi-kardinalitas terikat-terikat: kekerasan aproksimasi

Pertimbangkan masalah set penutup minimum dengan batasan berikut: setiap set berisi paling banyak elemen $k$ dan setiap elemen alam semesta terjadi di paling banyak set $f$ .

• Contoh: case $k = 4$ dan $f = 2$ setara dengan masalah penutup simpul minimum dalam grafik dengan derajat maksimum 4.

Mari $a(k,f) > 1$ menjadi nilai terbesar sehingga menemukan sebuah $a(k,f)$ -approximation penutup masalah minimum set dengan parameter $k$ dan $f$ adalah NP-keras.

• Contoh: $a(4,2) \ge 1.0128$ ( Berman & Karpinski 1999 ).

Pertanyaan: Apakah kita memiliki referensi yang merangkum batas bawah terkuat yang diketahui pada $a(k,f)$ ? Secara khusus, saya tertarik pada nilai-nilai konkret dalam kasus bahwa kedua $k$ dan $f$ kecil tetapi $f > 2$ .

Versi terbatas dari masalah penutup sering nyaman dalam pengurangan; biasanya ada beberapa kebebasan dalam memilih nilai-nilai $k$ dan $f$ , dan informasi lebih lanjut tentang $a(k,f)$ akan membantu untuk memilih nilai-nilai yang tepat yang memberikan hasil kekerasan yang paling kuat. Referensi di sini , di sini , dan di sini memberikan titik awal, tetapi informasinya agak ketinggalan zaman dan terpisah-pisah. Saya bertanya-tanya apakah ada sumber yang lebih lengkap dan terkini?

Dengan menggunakan notasi parameter yang lebih umum daripada ( k , f ) , ini setara dengan (dan saya pikir lebih dikenal sebagai) masalah Vertex Cover dalam k- seragam hypergraphs tingkat maksimum Δ . Untuk menekankan, untuk konsistensi dengan literatur saya menggunakan k di mana Anda menggunakan f , dan Δ di mana Anda menggunakan k .$(\Delta,k)$$(k,f)$$k$$\Delta$$k$$f$$\Delta$$k$

Untuk konstanta , hasil yang diabaikan Δ termasuk$\varepsilon > 0$$\Delta$

• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$
• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$ (Dinur et al., 2004) , sebagaimana dicatat oleh Im.
• Jika dugaan game unik itu benar, maka , yang ketat (Khot & Regev, 2008) .$\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

Mengabaikan ,$k$

• $\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$ (sepele).
• $\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$ (Holmerin, 2002)

Satu-satunya hasil yang saya tahu yang menggabungkan dua parameter adalah

• kk$a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$ untuk memperbaiki , atau tumbuh perlahan dengan (Halperin, 2002)$k$$k$$\Delta$

Ada koneksi antara masalah ini dan masalah Set Independen (Lemah), tapi saya tidak yakin bagaimana mereka terkait dalam hal perkiraan. Saya akan merekomendasikan menyelidiki ini, mungkin mulai di sini: [PDF] .

Dengan menggunakan, seperti dalam jawaban James King, notasi untuk perkiraan waktu polinomial terbaik dari penutup verteks dalam hipergraf seragam- paling banyak , kami juga memilikik $a(\Delta,k)$$k$$\Delta$

(1)$a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

dari algoritma pendekatan serakah untuk set cover: vertex cover dalam hypergraphs of degree paling banyak sama dengan masalah set cover paling banyak , di mana algoritma greedy memiliki rasio perkiraan paling banyak , di mana adalah fungsi harmonik.Δ H Δ H n = 1 + 1 / 2 + ... 1 / n ≤ ln n + O ( 1 $\Delta$$\Delta$$H_\Delta$$H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

Dalam tulisan ini saya tunjukkan itu

(2)$\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

kecuali , dengan mengubah parameter dalam pengurangan Feige.$P=NP$

Kalau-kalau Anda belum menemukannya; hasil kekerasan terbaru untuk Vertex Cover-derajat terbatas yang saya temukan dalam pencarian baru-baru ini adalah Chlebik & Chlebikova , misalnya sekitar 1,01-kekerasan dalam grafik kubik.

Ini tidak cukup menjawab pertanyaan Anda, tetapi mungkin bisa membantu - ada makalah [Dinur et al. 2004] yang mencakup f> 2 (tetapi tampaknya tidak memperbaiki k).