Perpanjangan operator kebisingan

Dalam masalah yang sedang saya kerjakan, perpanjangan dari operator kebisingan muncul secara alami, dan saya ingin tahu apakah ada pekerjaan sebelumnya. Pertama izinkan saya merevisi operator kebisingan dasar $T_{\varepsilon}$ pada fungsi Boolean yang bernilai nyata. Diberi fungsi $f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ dan $\varepsilon$ , $p$ st $0 \leq \varepsilon \leq 1$ , $\varepsilon = 1 - 2p$ , kita mendefinisikan $T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$ sebagai $T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ adalah distribusi pada$y$ diperoleh dengan menetapkan setiap bit dari$n$ vektor-bit menjadi$1$ secara mandiri dengan probabilitas$p$ dan$0$ sebaliknya. Secara setara, kita dapat menganggap proses ini sebagai membalik setiap bit$x$ dengan probabilitas independen$p$ . Sekarang operator kebisingan ini memiliki banyak sifat yang berguna, termasuk menjadi multiplikasi$T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ dan memiliki nilai eigen dan vektor eigen yang bagus ($T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ mana$\chi_S$ milik basis paritas).

Biarkan saya sekarang mendefinisikan ekstensi T ε saya , yang saya tunjukkan sebagai R ( p 1 , p 2 ) . R ( p 1 , p 2 ) → R diberikan oleh R ( p 1 , p 2 ) f ( x ) = E y ∼ μ p , x [ f ( x + y ) ] . Tapi di sini distribusi kami $T_\varepsilon$$R_{(p_1,p_2)}$$R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$$R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$p , x sedemikian rupa sehingga kita membalik1bitxke0dengan probabilitas p 1 dan0bitxke1dengan probabilitas p 2 . ( Μ p , x sekarang jelas distribusi tergantung padaxdi mana fungsi tersebut dievaluasi, dan jika p 1 = p 2 maka R ( p 1 , p 2 ) mengurangi ke operator kebisingan 'biasa'.)$\mu_{p,x}$$1$$x$$0$$p_1$$0$$x$$1$$p_2$$\mu_{p,x}$$x$$p_1 = p_2$$R_{(p_1,p_2)}$

Saya bertanya-tanya, apakah operator ini R ( p 1 , p 2 ) sudah dipelajari dengan baik di suatu tempat dalam literatur? Atau apakah sifat-sifat dasarnya jelas? Saya baru mulai dengan analisis Boolean, jadi ini mungkin langsung bagi seseorang yang lebih akrab dengan teori daripada saya. Khususnya saya tertarik jika vektor eigen dan nilai eigen memiliki karakterisasi yang bagus, atau apakah ada properti multiplikatif.$R_{(p_1,p_2)}$

I'll answer the second part of the question.

I. Eigenvalues and Eigenfunctions

Let's first consider the one dimensional case $n=1$. It is easy to check that the operator $R_{p_1,p_2}$ has two eigenfunctions: $1$ and

$$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$$ with eigenvalues $1$ and $1-p_1 - p_2$, respectively.

Now consider the general case. For $S\subset \{1,\dots,n\}$, let $\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$. Observe that $\xi_S$ is an eigenfunction of $R_{p_1,p_2}$. Indeed since all variables $x_i$ are independent, we have

$$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$$

We get that $\xi_S(x)$ is an eigenfunction of $R_{p_1,p_2}$ with eigenvalue $(1-p_1-p_2)^{|S|}$ for every $S\subset \{1,\dots,n\}$. Since functions $\xi_S(x)$ span the whole space, $R_{p_1,p_2}$ has no other eigenfunctions (that are not linear combinations of $\xi_S(x)$).

II. Multiplicative Property

In general, the “multiplicative property” doesn't hold for $R_{p_1,p_2}$ since the eigenbasis of $R_{p_1,p_2}$ depends on $p_1$ and $p_2$. However, we have

$$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$$ where $p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$ and $p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$. To verify that, first note that $R_{p_1,p_2}$ and $R_{p_1',p_2'}$ have the same set of eigenfunctions $\{\xi_S\}$. We have, $$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$$ since $$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$$

III. Relation to the Bonami—Beckner operator

Let us think of functions from $\{0,1\}^n$ to ${\mathbb R}$ as polylinear polynomials. Let $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$. Consider the operator

$$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$$ It maps every multilinear polynomial $f$ to a multilinear polynomial $A[f]$. We have, $$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$$ where $\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$. Note that parts I and II follow from this formula and properties of the Bonami—Beckner operator.

We were eventually able to analyze hypercontractive properties of $R_{p_1, p_2}$ (http://arxiv.org/abs/1404.1191), building off of the main Fourier analysis of $R_{p,0}$ by Ahlberg, Broman, Griffiths and Morris (http://arxiv.org/abs/1108.0310).

To summarize, the effect of a biased operator $R_{p,0}$ on a function $f$ can be analyzed as a symmetric noise operator in a biased measure space. This gives a weak form of hypercontractivity, which depends on how the $\ell_2$ norm of $f$ varies when switching to a choice of biased measure $\mu$ dependent on $p$.