Entropi konvolusi atas hypercube

Katakanlah kita memiliki fungsi , sedemikian sehingga β x ∈ Z n 2 f ( x ) 2 = 1 (sehingga kita dapat menganggap { f ( x ) 2 } x ∈ Z n 2 sebagai distribusi) . Itu wajar untuk mendefinisikan entropi dari suatu fungsi seperti berikut: H ( f ) = - Σ x ∈ Z n 2 f ( $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$$\sum _{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 = 1$$\{ f(x)^2\} _{x\in \mathbb{Z}_2^n}$

$$H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 \log \left( f(x)^2 \right) .$$

Sekarang, pertimbangkan konvolusi $f$ dengan dirinya sendiri:

$$[ f*f] (x) = \sum_{y \in \mathbb{Z}_2^n}f(y)f(x+y) .$$ (Perhatikan bahwa karena kita berurusan dengan $\mathbb{Z}_2^n$ , maka $x+y=x-y$ )

$f*f$$L_2$$f$$C$

$$H \left( \frac{f*f}{\|f*f\|_2} \right) \le C \cdot H(f)$$

Tidak ada seperti itu . Tentukan oleh g : Z n 2 → R g ( x 1 , … , x n ) = { 2 2 n / 3  jika  x 1 = ⋯ = x n = 0 1 $C$$g\colon\mathbb{Z}_2^n\to\mathbb{R}$

$$g(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{2n/3}&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 1&\text{ otherwise.}\end{cases}$$

Kemudian memenuhi $g*g$

$$(g*g)(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{4n/3}+2^n-1&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 2^{2n/3}\cdot 2+2^n-2&\text{ otherwise.}\end{cases}$$

Biarkan . Maka adalah (sebenarnya secara eksponensial kecil dalam ), sedangkan sekitar . H ( f ) = H ( g / ‖ g ‖ 2 ) o ( 1 ) n H ( g ∗ g / ‖ g ∗ g ‖ g ‖ 2 ) $f=g/\|g\|_2$$H(f)=H(g/\|g\|_2)$$o(1)$$n$$H(g*g/\|g*g\|_2)$$n$