Apakah ada hubungan antara norma berlian dan jarak dari negara terkait?

Dalam teori informasi kuantum, jarak antara dua saluran kuantum sering diukur menggunakan norma intan. Ada juga sejumlah cara untuk mengukur jarak antara dua keadaan kuantum, seperti jarak jejak, kesetiaan, dll. Isomorfisma Jamiołkowski memberikan dualitas antara saluran kuantum dan keadaan kuantum.

Ini menarik, setidaknya bagi saya, karena norma intan sangat sulit untuk dihitung, dan isomorfisma Jamiołkowski tampaknya menyiratkan beberapa korelasi antara ukuran jarak saluran kuantum dan keadaan kuantum. Jadi, pertanyaan saya adalah ini: Adakah hubungan yang diketahui antara jarak dalam norma intan dan jarak antara keadaan terkait (dalam beberapa ukuran)?

quantum-computing it.information-theory quantum-information Joe Fitzsimons
sumber

Saya tidak yakin apa yang Anda maksud dengan “norma intan sangat sulit untuk dihitung.” Jika Anda diberi saluran kuantum sebagai matriks eksplisit (dari perwakilan Choi-Jamiołkowski, katakanlah), kuadrat norma intan dapat dirumuskan sebagai program semidefinite; lihat Bagian 20.4 dari catatan kuliah oleh John Watrous . Dalam pengertian itu, norma berlian memiliki cara yang efisien untuk menghitung.

Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Saya hanya merujuk pada optimasi implisit. Maksud saya komputasi tidak sulit, tetapi agak canggung untuk bekerja dengannya.

Joe Fitzsimons

Ini adalah catatan kuliah yang sangat bagus, sebagai tambahan.

Suresh Venkat

@ Suresh @Tsuyoshi: Ya, itu adalah catatan yang bagus, tapi saya rasa mereka tidak menjawab pertanyaan khusus ini.

Joe Fitzsimons

@TsuyoshiIto: karena alasan tertentu, bagian terakhir dalam slide QIP adalah 20.3, apakah Anda memiliki set kuliah yang lebih lengkap?

Artem Oboturov

Jawaban:

$\Phi$ $J(\Phi)$

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$

Φ

$\Phi$

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

$\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$

ρ

$\rho$

(Perhatikan bahwa definisi di atas tidak berfungsi untuk pemetaan acak, hanya definisi untuk peta yang sepenuhnya positif dan . Untuk pemetaan umum, supremum diambil alih semua matriks dengan norma jejak 1, bukan hanya matriks kerapatan.) $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

Jika Anda tidak memiliki asumsi tambahan di saluran, Anda tidak bisa mengatakan terlalu banyak tentang bagaimana norma-norma ini berhubungan selain dari batasan kasar ini: Untuk ketidaksetaraan kedua, seseorang pada dasarnya memilih pilihan tertentu daripada mengambil supremum atas semua

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ . Ketidaksetaraan pertama adalah tawaran yang lebih keras, tetapi itu akan menjadi pertanyaan penugasan yang masuk akal untuk program pascasarjana tentang informasi kuantum. (Pada titik ini saya harus berterima kasih atas pertanyaan Anda, karena saya sepenuhnya bermaksud menggunakan pertanyaan ini dalam penawaran Musim Gugur dalam kursus teori informasi kuantum saya.)

Anda dapat mencapai ketidaksetaraan untuk pilihan saluran dan , bahkan dengan asumsi tambahan bahwa saluran tersebut dapat dibedakan dengan sempurna (artinya ). $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

John Watrous
sumber

Terima kasih John, itu menjawab pertanyaan saya dengan sempurna, dan telah menghemat banyak waktu saya.

Joe Fitzsimons

Anda mungkin juga ingin melihat pengukuran Jarak untuk membandingkan proses kuantum yang nyata dan ideal arXiv: quant-ph / 0408063 yang memberikan gambaran tentang pengukuran jarak untuk saluran kuantum dan hubungannya.

Mereka menggunakan istilah S distance untuk jarak berlian dan jarak J untuk jarak jejak operator Jamiołkowski yang terkait dengan saluran.

Antonio Valerio Miceli-Barone
sumber

Saya suka memikirkan ketimpangan pertama yang ditulis Watrous dalam hal teleportasi saluran probabilistik. Jika Anda menginterpretasikan norma intan sebagai ukuran probabilitas kesalahan terkecil dalam membedakan saluran dan , dan norma jejak sebagai ekivalen untuk negara Jamiolkowski mereka, Anda selalu dapat menerapkan strategi optimal untuk saluran dari negara terkait dengan probabilitas keberhasilan. Menempatkan ini dengan ketat mungkin merupakan cara untuk membuktikan ketidaksetaraan. $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

Juga, cara berpikir ini menunjukkan bahwa jika saluran dapat diteleportasikan secara deterministik (seperti saluran Pauli), maka norma intan mereka sama dengan jarak jejak Jamiolkowski.

Alex Monras
sumber