Persamaan Guru dan Formulir Jumlah Operator

Saya lebih dari seorang pria kuantum optik daripada seorang pria info kuantum, dan menangani terutama dalam persamaan induk. Saya tertarik pada bentuk jumlah operator, dan saya ingin mendapatkan kesalahan dalam formulir ini untuk sistem kuantum kecil yang saya simulasi.

Tangkapan: Sistem kuantum digerakkan oleh medan eksternal (klasik) yang dimodelkan dengan fungsi sinusoidal, dan laju redamannya rendah, jadi saya tidak bisa membuat perkiraan gelombang berputar untuk menghilangkan ketergantungan waktu ini. Mengingat bahwa saya harus menyelesaikan persamaan induk secara numerik dengan integrasi, dan hasil dari setiap integrasi pada waktu tidak cukup informasi untuk mencari tahu kesalahan ini, dan saya perlu melakukan beberapa pekerjaan untuk memulihkan matriks superoperator yang telah beroperasi pada kepadatan vektor. matriks. yaitu saya memberi makan persamaan induk matriks kerapatan yang di vektorisasi dengan entri tunggal 1 dan sisanya nol, dan membangun matriks seperti itu untuk waktu tertentu τ . Apakah saya di jalur yang benar di sini (pemeriksaan kewarasan)? Lebih eksplisit, jika v e c$t$$\tau$ adalah bentuk vektor (jadi vektor kolom) dari matriks kerapatan dengan entri tunggal 1 pada posisi i , j , pada t = 0 yang telah berevolusi ke waktu τ , kemudian sebuah matriks untuk mengambil bentuk vektor dari matriks densitas dari t = 0 ke t = τ diberikan sebagai M = Σ i , j v e c ( ρ i j , t = 0$\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$$i,j$$t=0$$\tau$$t=0$$t=\tau$ .$\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

Pertanyaan: Diberikan kepada superoperator ini, yang melakukan $\mathbf{M}$ , bagaimana saya bisa mendapatkan operator Krauss untuk jumlah yang setara dengan operator dari M yang ada dalam bentuk yang bermanfaat? yaitu sistem yang dimaksud adalah qubit atau qutrit dan qubit atau qutrit lain. Saya ingin dapat melakukan penjumlahan operator dalam bentuk produk tensor dari spin matrix pada setiap saluran jika memungkinkan.$\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$$\mathbf{M}$

Pertanyaan sampingan: Apakah matriks Choi?$\mathbf{M}$

Catatan akhir: Saya memberikan penghargaan kepada Pinja, karena saya menggunakan kertas yang disarankan Pinja. Saya telah memberikan jawaban sendiri di bawah ini yang mengisi rinciannya.

Saya bekerja pada masalah yang sangat mirip pada tesis Master saya, di mana saya mempelajari dinamika non-Markovian dari qubit yang digerakkan dalam lingkungan disipatif. Ketertarikan saya adalah memeriksa bahwa persamaan utama yang saya peroleh benar-benar positif, tetapi ini hanyalah satu sisi dari masalah Anda. Pertanyaannya ternyata sangat tidak sepele jika tidak ada RWA yang dibuat, tetapi saya bisa mendapatkan beberapa hasil menggunakan Ref. [ J Mod. Memilih. 54, 1695 (2007) ] dan mengeksploitasi fakta bahwa qubit lemah digabungkan dengan lingkungan. Saya akan mengalahkan drum saya dan juga memberikan Ref. ke artikel tempat saya menyajikan beberapa hasil ini, [P. Haikka dan S. Maniscalco, Phys. Rev. A 81, 052103 (2010)] , Anda mungkin merasa berguna.

Referensi yang diberikan untuk menjawab mekanika Quantum sebagai proses Markov  - khususnya on-line Carlton Caves mencatat "Peta yang benar-benar positif, peta positif, dan formulir Lindblad " - survei gagasan fisik dan alat matematika yang membantu menjawab pertanyaan.

$M$$M$$M$$M$ secara numerik diberikan secara keseluruhan.

$M$

Jika pertanyaan seperti ini dapat dijawab secara efisien dengan "memutar engkol algoritmik", maka fisika kuantum akan menjadi subjek yang jauh lebih menarik! :)

Saya pikir apa yang mungkin Anda cari adalah ini: Matriks Kepadatan Nyata . Ini memberi Anda resep untuk mengkonversi antara berbagai representasi superoperator (termasuk menggunakan basis produk tensor dari Paulis). Sebuah eksperimen tomografi proses kuantum terperinci yang memanfaatkan hasilnya ada di sini: Tomografi Proses Kuantum dari Quantum Fourier Transform . Lebih umum, Havel juga telah menurunkan algoritma untuk mengkonversi ke representasi Kraus minimal di sini: Prosedur untuk Konversi di antara Lindblad, Kraus dan Representasi Matriks dari Quantum Dynamical Semigroups .

${\rm vec}(\rho)$$\rho$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$${\rm col}(\rho)$${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

Seperti yang dicatat Pinja, sebuah makalah oleh Andersson et al. ( arXiv ) ( DOI ) telah sangat berguna. Makalah ini masuk ke banyak detail, dan saya akhirnya duduk hari ini untuk melihatnya dengan benar. Sebagai contoh masalah, saya memilih dua qubit dengan interaksi pertukaran untuk memeriksa ini yang merupakan versi minimal dari apa yang saya pertimbangkan. Untuk memulai, persamaan utama diberikan oleh

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$$1/2$$G_i$$G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

Jika kita berurusan dengan persamaan induk sebagai matriks yang bekerja pada operator kepadatan vektor seperti yang dibahas dalam pertanyaan, maka ini dapat dinyatakan sebagai

yang memungkinkan L diturunkan dalam persamaan matriks tunggal, tapi itu mendapatkan sedikit topik.

$L$$F$$\phi$

$F$$S$

Akhirnya, bagian yang indah.

$S$$\Lambda$$\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

Ini bekerja dalam kasus independen waktu untuk berhenti dan qutrits seperti yang diharapkan. Saya perlu memeriksa apakah ini berfungsi dalam kasus ketergantungan waktu.