Mengapa kesehatan menyiratkan konsistensi?

Saya sedang membaca pertanyaan Konsistensi dan kelengkapan menyiratkan kesehatan? dan pernyataan pertama di dalamnya mengatakan:

Saya mengerti bahwa kesehatan menyiratkan konsistensi.

Yang saya cukup bingung karena saya pikir kesehatan adalah pernyataan yang lebih lemah daripada konsistensi (yaitu saya pikir sistem yang konsisten harus sehat tetapi saya kira itu tidak benar). Saya menggunakan definisi informal yang digunakan Scott Aaronson dalam kuliah 6.045 / 18.400 di MIT untuk konsistensi dan Tingkat Kesehatan:

1. Tingkat Kesehatan = Sistem bukti adalah suara jika semua pernyataan yang dibuktikan benar-benar benar (semua yang terbukti adalah Benar). yaitu JIKA ( $\phi$ dapat dibuktikan)$\implies$( $\phi$ Benar). Jadi JIKA (ada jalur ke rumus) LALU (rumus itu Benar)
2. Konsistensi = sistem yang konsisten tidak pernah membuktikan A dan NOT (A). Jadi hanya satu A atau negasinya yang bisa Benar.

Dengan menggunakan definisi tersebut (mungkin informal) dalam pikiran saya membangun contoh berikut untuk menunjukkan bahwa ada sistem yang sehat tetapi tidak konsisten:

Alasan mengapa saya pikir itu adalah sistem suara adalah karena dengan asumsi aksioma itu benar. Jadi A dan bukan A keduanya benar (ya saya tahu hukum menengah tidak termasuk). Karena satu-satunya aturan inferensi adalah negasi kita mendapatkan bahwa kita dapat mencapai A dan bukan A dari aksioma dan mencapai satu sama lain. Dengan demikian, kami hanya mencapai pernyataan Benar sehubungan dengan sistem ini. Namun, tentu saja sistem tidak konsisten karena kita dapat membuktikan negasi dari satu-satunya pernyataan dalam sistem. Karena itu, saya telah menunjukkan bahwa sistem suara mungkin tidak konsisten. Mengapa contoh ini salah? Apa kesalahan yang telah aku perbuat?

Di kepala saya ini masuk akal karena kesehatan hanya mengatakan bahwa begitu kita mulai dari dan aksioma dan memutar aturan inferensi kita hanya mencapai di tujuan (yaitu pernyataan) yang Benar. Namun, itu tidak benar-benar mengatakan tujuan mana kita tiba. Namun, konsistensi mengatakan bahwa kita hanya dapat mencapai tujuan yang mencapai atau (keduanya tidak keduanya). Jadi setiap sistem yang konsisten harus memasukkan hukum menengah yang dikecualikan sebagai aksioma, yang tentu saja tidak saya lakukan dan kemudian hanya memasukkan negasi dari satu-satunya aksioma sebagai satu-satunya aksioma lainnya. Jadi tidak terasa saya melakukan sesuatu yang terlalu pintar, tetapi entah bagaimana ada yang salah?¬ $A$$\neg A$

Saya baru sadar itu bisa menjadi masalah karena saya menggunakan definisi informal Scott. Bahkan sebelum saya menulis pertanyaan saya sudah memeriksa wikipedia tetapi definisi mereka tidak masuk akal bagi saya. Khususnya bagian yang mereka katakan:

sehubungan dengan semantik sistem

kutipan lengkap mereka adalah:

setiap rumus yang dapat dibuktikan dalam sistem secara logis valid sehubungan dengan semantik sistem.

Saya sarankan melihat ke dalam logika formal di luar deskripsi, tangan-bergelombang bergelombang. Ini menarik dan sangat relevan dengan ilmu komputer. Sayangnya, terminologi dan fokus sempit bahkan buku teks khusus tentang logika formal dapat menyajikan gambaran yang membingungkan tentang apa itu logika. Masalahnya adalah bahwa sebagian besar waktu ketika matematikawan berbicara tentang "logika", mereka (sering secara implisit) berarti logika proposisional klasik atau logika orde pertama klasik. Walaupun ini adalah sistem logis yang sangat penting, mereka tidak jauh dari luasnya logika. Bagaimanapun, apa yang akan saya katakan sebagian besar terjadi dalam konteks yang sempit itu, tetapi saya ingin memperjelas bahwa itu terjadi dalam konteks tertentu dan tidak perlu benar di luarnya.

Pertama, jika konsistensi didefinisikan sebagai tidak membuktikan dan , apa yang terjadi jika logika kita bahkan tidak memiliki negasi atau jika¬ A $A$$\neg A$$\neg$berarti sesuatu yang lain? Jelas, gagasan konsistensi ini membuat beberapa asumsi tentang konteks logis di mana ia beroperasi. Biasanya, ini adalah bahwa kita bekerja dalam logika proposisional klasik atau beberapa perluasannya seperti logika orde pertama klasik. Ada beberapa presentasi, yaitu daftar aksioma dan aturan, yang bisa disebut logika proposisional / urutan pertama klasik tetapi, untuk tujuan kita, yang tidak terlalu penting. Mereka setara dalam beberapa hal yang sesuai. Biasanya, ketika kita berbicara tentang sistem logis yang kita maksud adalah teori orde pertama (klasik). Ini dimulai dengan aturan dan aksioma (logika) logika klasik orde pertama, yang Anda tambahkan simbol fungsi yang diberikan, simbol predikat, dan aksioma (disebut aksioma non-logis). Teori-teori orde pertama ini biasanya apa yang kita

Selanjutnya, kesehatan biasanya berarti kesehatan sehubungan dengan semantik. Konsistensi adalah sifat sintaksis yang berkaitan dengan bukti formal apa yang dapat kita buat. Soundness adalah properti semantik yang berkaitan dengan bagaimana kita menafsirkan rumus, simbol fungsi, dan simbol predikat menjadi objek dan pernyataan matematika. Untuk bahkan mulai berbicara tentang kesehatan, Anda perlu memberikan semantik, yaitu interpretasi dari hal-hal yang disebutkan di atas. Sekali lagi, kita memiliki pemisahan antara penghubung logis dan aksioma logis, dan simbol fungsi, simbol predikat, dan aksioma non-logis. Apa yang membuat konektifitas terhubung dan aksioma logis. Aksioma logis dari sudut pandang semantik adalah bahwa mereka diperlakukan secara khusus oleh semantik sementara simbol fungsi, simbol predikat, dan aksioma non-logis tidak.$[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$ mana saya menggunakan sebagai interpretasi dari rumus . Secara khusus, mana adalah set domain. Idenya adalah rumus diartikan sebagai himpunan (tupel) elemen domain yang memenuhi rumus. Rumus tertutup (yaitu yang tanpa variabel bebas) ditafsirkan sebagai hubungan nullary yang mengatakan subset dari himpunan singleton yang hanya dapat berupa singleton atau himpunan kosong. Rumus tertutup adalah "benar" jika tidak diartikan sebagai set kosong. Kesehatan adalah pernyataan bahwa setiap formula yang terbukti (tertutup) adalah "benar" dalam pengertian di atas.φ $[\![\varphi]\!]$$\varphi$$[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$$D$

Mudah dari sini, bahkan dari sketsa yang saya berikan, untuk membuktikan bahwa kesehatan menyiratkan konsistensi (dalam konteks logika orde pertama klasik dan semantik yang telah saya sketsa). Jika logika Anda adalah suara, maka setiap dibuktikan rumus menafsirkan sebagai satu set non-kosong, tapi yang selalu diartikan sebagai himpunan kosong tidak peduli apa rumus adalah, dan sehingga tidak dapat dibuktikan, yaitu logika Anda konsisten.

Kesehatan dan konsistensi adalah sifat dari sistem deduktif. Kesehatan hanya dapat didefinisikan sehubungan dengan beberapa semantik yang diasumsikan diberikan secara independen dari sistem deduktif.

Dalam ranah semantik, kedua sifat itu saling berkaitan

Definisi 1 ( Tingkat Kesehatan [Semantik] - dipinjam dari Wikipedia ) Tingkat kesehatan dari sistem deduktif adalah sifat bahwa setiap kalimat yang dapat dibuktikan dalam sistem deduktif juga berlaku pada semua interpretasi atau struktur teori semantik untuk bahasa yang menjadi dasar teori tersebut berdasarkan.

Definisi 2 ( Konsistensi [Semantik] ) Satu set kalimat dalam bahasa konsisten jika dan hanya jika terdapat struktur bahasa yang memenuhi semua kalimat di . Sistem deduktif konsisten jika ada struktur yang memenuhi semua formula yang terbukti di dalamnya.L L$A$$\mathfrak{L}$$\mathfrak{L}$$A$

Dengan dua definisi yang diberikan di atas jelas bahwa kesehatan menyiratkan konsistensi. Yaitu jika himpunan semua kalimat yang dapat dibuktikan memegang semua struktur bahasa maka ada setidaknya satu struktur yang memuaskan mereka.

Sistem pembuktian Anda tidak masuk akal atau konsisten, karena bukan proposisi yang benar kecuali , Dalam hal ini bukan proposisi yang benar. Argumen ini menunjukkan bahwa setiap sistem bukti suara juga konsisten.A ≡ ⊤ ¬ A ≡ $A$$A \equiv \top$$\lnot A \equiv \bot$

Seringkali ketika kita datang dengan sistem logis, mereka dimotivasi oleh upaya untuk menggambarkan fenomena yang sudah ada sebelumnya. Sebagai contoh, aritmatika Peano adalah upaya untuk aksiomatiskan bilangan asli bersama dengan operasi penambahan dan perkalian.

Tingkat kesehatan hanya dapat didefinisikan relatif terhadap fenomena yang Anda coba gambarkan, dan pada dasarnya berarti bahwa aksioma dan aturan inferensi Anda benar-benar menggambarkan hal yang dimaksud. Jadi, misalnya, aritmatika Peano baik karena aksioma dan aturan inferensinya benar-benar berlaku untuk bilangan asli.

Ini, tentu saja, menyiratkan bahwa Anda memiliki konsep "bilangan alami" di luar definisi Peano tentang mereka, dan beberapa gagasan tentang apa yang benar atau salah untuk bilangan alami tanpa memperoleh kebenaran ini dari serangkaian aksioma tertentu. Mencoba menjelaskan dari mana kebenaran itu berasal atau bagaimana kebenarannya dapat mendaratkan Anda di perairan panas filosofis. Tetapi jika Anda menganggapnya sebagai ADA bilangan asli, dan ada beberapa fakta yang benar tentang mereka, maka Anda dapat melihat proyek aksiomatisasi hanya sebagai upaya untuk menghasilkan spesifikasi formal yang ringkas dari mana banyak yang paling penting kebenaran bisa diturunkan. Kemudian aksioma terdengar jika semua yang dapat dibuktikan benar-benar ada dalam kumpulan kebenaran yang telah ditentukan sebelumnya, yaitu,

(Catat secara khusus bahwa spesifikasi formal Anda tidak akan membuktikan segala sesuatu yang benar tentang bilangan asli, dan terlebih lagi tidak akan secara unik menggambarkan bilangan asli di mana ada struktur lain, berbeda dari bilangan asli, di mana aksioma Peano adalah juga benar.)

Dalam logika urutan pertama, setidaknya, sebuah teori konsisten jika memiliki model sama sekali. Kesehatan berarti memiliki model spesifik yang Anda inginkan: struktur khusus yang Anda coba gambarkan dengan teori Anda benar-benar adalah model dari teori Anda. Dari perspektif ini, jelas mengapa kesehatan menyiratkan konsistensi.

Sebagai contoh teori yang konsisten tetapi tidak masuk akal: Aritmatika Peano, PA, mampu menyandikan rumus logis sebagai konstruksi aritmatika, dan khususnya Anda dapat menyandikan kalimat "PA konsisten" ("tidak ada bukti kepalsuan dari aksioma PA "). Sebut kalimat ini Con (PA). Anda mungkin juga menyadari bahwa (karena itu suara, dan karenanya konsisten) PA tidak dapat membuktikan Con (PA), oleh teorema ketidaklengkapan Gödel yang pertama. Ini juga berarti teori PA +$\neg$Con (PA) tidak dapat membuktikan kontradiksi, jadi itu harus konsisten. Tapi itu tidak masuk akal: ia mengklaim ada bilangan asli yang mengkode bukti kepalsuan dari aksioma PA, tetapi tidak mungkin ada bilangan seperti itu dalam bilangan asli "nyata", karena kalau tidak kita akan dapat mengekstraksi bukti asli dari inkonsistensi PA dari itu.

PA + Con (PA) memiliki model, tetapi mereka adalah model yang harus menyertakan objek "ekstra", "bilangan asli non-standar", termasuk yang diklaimnya mengkodekan "bukti" yang dimaksud. Teori ini sama sekali tidak dilengkapi dengan alat yang diperlukan untuk membedakan unsur-unsur non-standar ini dari anggota bonafid asli , atau untuk menunjukkan bahwa buktinya bukan bukti yang sah.$\neg$$\mathbb N$

Anda dapat menafsirkannya sebagai: PA + Con (PA) adalah sistem logis yang sah - itu hanya tidak secara akurat menggambarkan bilangan asli, dan bilangan alami bukan model dari itu.$\neg$

Satu hal lagi: kita tidak berasumsi bahwa aksioma benar menurut definisi. Semua aksioma menurut definisi hanyalah dasar pembangun bukti. Mereka hanya klaim: mereka hanya benar atau salah ketika diterapkan pada objek matematika tertentu. Anda dapat memiliki aksioma yang salah, itu sangat konyol, karena sistem Anda akan selalu dan segera tidak akan terdengar.

Untuk mendapatkan jawaban yang ringkas (dan intuitif), saya akan mengutip apa yang dikatakan Scott Aaronson dalam kuliahnya di 6.045 / 18.400 MIT. Dia mengatakan sesuatu seperti ini:

Kesehatan berarti segala sesuatu yang terbukti benar. Karena konsistensi berarti tidak ada kontradiksi dan kesehatan yang sudah melibatkan konsep kebenaran dan kebenaran harus konsisten (yaitu Benar! = Salah), maka itu harus berarti sistem Suara juga konsisten. Jadi Kesehatan menyiratkan konsistensi karena (benar) hal-hal yang benar tidak memiliki kontradiksi.

Sekarang setelah saya renungkan, saya menyadari bahwa saya memiliki beberapa asumsi / gagasan yang salah:

1. Saya tidak menyadari bahwa kesehatan adalah tentang semantik. Jadi, saya gagal untuk menyadari bahwa hanya menggunakan aturan inferensi dari aksioma tidak cukup untuk menyebabkan konsekuensi yang benar (dan itu tidak menjaminnya, yang saya pikir tidak mungkin untuk mencapai hal-hal yang saling bertentangan selama kita mulai dari aksioma dan menggunakan aturan inferensi yang valid).
2. Saya pikir selama aksioma itu benar dan aturan inferensi membuat semua yang berjalan benar. Yang sekarang saya sadari mungkin tidak benar karena jika kita hanya memiliki daftar aksioma raksasa dan kesimpulan menyimpulkan bahwa itu sulit untuk dipikirkan jika semua yang mengikuti akan benar. yaitu hanya mulai dari aksioma dan menggunakan aturan inferensi yang valid tidak cukup untuk menjamin bahwa langkah selanjutnya akan benar.
3. Sebelumnya pada dasarnya digabungkan dengan fakta bahwa saya tidak menyadari bahwa ada dua tingkat kompleksitas, 1) semantik 2) sintaksis. Mengambang simbol-simbol permainan dapat menyebabkan kontradiksi.
4. Saya tidak menyadari bahwa saya tidak tahu karakterisasi kebenaran yang tepat, yang derek membuat pekerjaan hebat dalam mengkarakterisasi.