Mengapa

Saya ingin tahu apakah ada aturan untuk membuktikan ini. Misalnya, jika saya menggunakan hukum distributif, saya hanya akan mendapatkan .$(A \lor A) \land (A \lor \neg B)$

Saya menemukan gambar yang bagus untuk apa saja yang cukup sederhana untuk menggunakannya, ini adalah.

Ingat:

DAN berarti area diambil oleh kedua hal. Jadi yang di tengah adalah apa yang diambil di luar B, tetapi juga di dalam A. Persimpangan mereka tidak dihitung karena berada di dalam A tetapi tidak di luar B.

ATAU berarti dicakup oleh salah satu atau keduanya. Keduanya menutupi bagian A yang berada di luar B, dan persimpangan ditutupi oleh A (gambar pertama) sehingga dihitung juga. Semua dalam semua, Anda hanya memiliki A lagi.

Maaf jika ini terlalu sederhana, tidak yakin pada level apa Anda berada.

Ada banyak cara untuk melihatnya. Salah satunya adalah tabel kebenaran. Lain adalah dengan menggunakan aturan distributif:

Saya akan menggunakan aturan inferensi paling favorit saya: Disjunction Elimination . Pada dasarnya, dikatakan bahwa jika mengikuti dari P , dan R mengikuti dari Q , maka R harus benar jika P ∨ Q : ( P → R ) , ( Q → R ) , ( P ∨ Q ) ⊢ $R$$P$$R$$Q$$R$$P \vee Q$

Jadi mari kita asumsikan . Set P = A , Q = A ∧ ¬ B , R = A dan menerapkan aturan:$A \lor (A \land \neg B)$$P = A$$Q = A \land \neg B$$R = A$

• Jika ( = A ) kita selesai.$P$$= A$
• Jika maka A (dengan eliminasi konjungsi, S ∧ T ⊢ S )$Q = A \land \neg B$$A$$S \land T \vdash S$
• Dengan disjunction eliminasi .$A \lor (A \land \neg B) \to A$

Kebalikannya sepele: asumsikan , lalu oleh salah satu varian dari perkenalan konjungsi ( S ⊢ S ∨ T untuk setiap T ) A → A ∨ ( ⋯ ) .$A$$S \vdash S \lor T$$T$$A \to A \lor (\cdots)$

Berikut adalah diagram dari bukti ini:

$C$$D$$C \lor D = D$$D$$C$$D$

$C = A \land \lnot B$$D = A$

Tampilan yang lebih intuitif:

Aadalah selalu benar ketika Abenar.

A & -Badalah hanya benar ketika Abenar.

Secara intuitif, menerapkan ATAU pada keduanya akan menghasilkan hasil Cyang selalu benar ketika Abenar. Karena itu, Cselalu benar ketika Aitu benar.

(Berhenti membaca di sini jika penjelasan ini cocok untuk Anda.)

Ini adalah bagaimana saya memikirkan masalah ini. Namun, penjelasan ini tidak lengkap karena yang kami tunjukkan hanyalah itu A -> Cdan tidak A <-> C.

Jadi, mari kita tunjukkan juga C -> A.

Aadalah selalu palsu ketika Aadalah palsu.

A & -Badalah selalu palsu ketika Aadalah palsu.

Secara intuitif, menerapkan ATAU pada keduanya akan menghasilkan hasil Cyang selalu salah ketika Asalah. Karena itu, Cselalu salah ketika Asalah; -A -> -C, yang merupakan hal yang sama dengan C -> A.

Begitu A -> Cdan C -> Abegitu A <-> C.

Terkadang, orang bingung dengan surat-surat itu. Orang menyukai makanan, karena mudah dipikirkan.

Berpura-pura saya meminta Anda untuk melempar koin untuk memilih antara satu atau yang lain dari dua opsi berikut:

• Apple, ATAU ...
• Apple, dan jelas tidak Banana.

[Yang pertama sama dengan "A", yang kedua "A dan bukan B". Tapi jangan pikirkan suratnya. Pikirkan tentang apel, dan apakah Anda juga mendapatkan pisang.]

Yang pertama itu benar-benar berarti "Sebuah apel fersure, dan mungkin Anda akan mendapatkan pisang."

Jadi meninggalkan sesuatu sama dengan mengatakan "mungkin".

Melihat mereka sebagai pasangan, apa pun yang Anda dapatkan, pasti akan ada Apple yang terlibat. Yay. Dan jika koin Anda mengambil yang tepat, Anda mungkin mendapatkan Pisang.

Tapi bukankah itu sama dengan mengatakan "mungkin Anda akan mendapatkan Pisang"? Hanya, dengan setengah kemungkinan?

Jadi yang bisa Anda katakan secara logis adalah, Anda akan mendapatkan Apple. Anda tidak dapat mengatakan apa-apa tentang apakah Anda akan mendapatkan Pisang.

Mirip dengan jawaban Yuval Filmus. Menggunakan aljabar boolean, dalam nota teknik, dan memfaktorkan (atau memfaktorkan) A.

$A+A\cdot\bar B=A\cdot(1+\bar B)=A\cdot1=A$

Sepertinya belum ada yang menyebutkannya, jadi saya akan melanjutkan.

Hukum untuk menangani masalah-masalah semacam ini adalah hukum serapan yang menyatakan bahwa pv (p ^ q) = p dan juga bahwa p ^ (pvq) = p. Jika Anda mencoba menggunakan hukum distributif tentang ini, itu akan membuat Anda berputar terus selamanya:

(A v A) ^ (A v ~ B) = A ^ (A v ~ B) = (A ^ A) v (A ^ ~ B) = A v (A ^ ~ B) = (A v A) ^ (A v ~ B)

Saya menggunakan simbol yang salah untuk tidak dan sama tetapi intinya di sini adalah bahwa ketika Anda pergi dalam lingkaran / ketika ada dan-atau ketidakcocokan biasanya Anda harus melihat ke hukum absoprtion.

B tidak relevan dengan hasilnya karena Anda akan perhatikan jika meletakkan ini di tabel kebenaran.

Cara intuitif lain untuk melihat ini:

Jika A adalah himpunan, maka kita dapat mengatakan objek apa pun yang diberikan adalah (dalam A) atau (tidak dalam A).

Sekarang lihat S = A atau (A dan bukan B) :

• Jika suatu objek berada di A, maka "A atau apa pun" berisi semua elemen dalam A, sehingga objek tersebut juga akan berada di S.

• Jika suatu objek tidak dalam A, maka "A dan apa pun" mengecualikan semua elemen tidak dalam A, jadi objek tidak dalam A maupun dalam (A dan bukan B), jadi itu bukan dalam S.

Jadi hasilnya adalah bahwa objek apa pun di A adalah di S, dan objek apa pun yang tidak di A tidak di S. Jadi secara intuitif, objek di S harus persis di A, dan tidak ada objek lain.

Ketika dua set memiliki elemen yang identik, mereka didefinisikan sebagai set yang sama. Jadi A = S.

Metode sederhana yang selalu dapat Anda gunakan jika Anda mengalami kesulitan adalah analisis kasus.

$A$

$A$

$A$

lets consider: 
  1) A as 1 and B as 0. 
  2) A as 0 and B as 1. 
  3) A as 1 and B as 1.
  4) A as 0 and B as 0.

using the first scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 1) => 1 0r 1 => 1
using the second scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 0) => 0 or 0 => 0
using the third scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 0) => 1 or 0 => 1
using the fourth scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 1) => 0 or 0 => 0

From the above four cases, the result always depends on A not on B, so the result is A.