Persamaan render - mengapa tidak dapat dipecahkan secara langsung?

Mengapa persamaan rendering, yang diperkenalkan oleh Kajiya pada tahun 1986, tidak dapat dipecahkan secara langsung / analitik?

Sayangnya saya tidak dapat menambahkan komentar pada jawaban di atas (tidak cukup reputasi), jadi saya akan melakukannya seperti ini.

Saya ingin menunjukkan bahwa apa yang dideskripsikan Dragonseel hanyalah persamaan integral (khususnya persamaan Fredholm dari jenis kedua). Ada banyak persamaan yang memiliki solusi analitik; bahkan beberapa bentuk persamaan rendering memiliki satu (misalnya solusi tungku putih dapat diberikan dengan menggunakan deret geometri konvergen sederhana, meskipun persamaan rendering bersifat rekursif tanpa batas).

Juga tidak perlu membiaskan solusi yang diperkirakan dengan membatasi jumlah rekursi. Roulette Rusia menyediakan alat yang berguna untuk memberi kita solusi yang tidak bias untuk persamaan rendering rekursif yang tak terbatas.

Kesulitan utama terletak pada kenyataan bahwa fungsi untuk reflektansi (BRDF), cahaya yang dipancarkan dan visibilitas sangat kompleks dan sering mengandung banyak diskontinuitas. Dalam kasus-kasus ini, seringkali tidak ada solusi analitik, atau tidak mungkin menemukan solusi seperti itu. Ini juga benar dalam kasus satu dimensi; sebagian besar integral tidak memiliki solusi analitik.

Akhirnya saya ingin mencatat bahwa meskipun sebagian besar kasus persamaan rendering tidak memiliki solusi analitik, ada banyak penelitian dalam bentuk persamaan rendering yang memiliki solusi analitik. Menggunakan solusi seperti itu (sebagai perkiraan) bila memungkinkan dapat secara signifikan mengurangi kebisingan dan dapat mempercepat waktu render.

Persamaan rendering adalah sebagai berikut:

Sekarang, integral adalah di atas bola di sekitar titik $x$. Anda mengintegrasikan beberapa cahaya yang dilemahkan, yang datang dari segala arah.

Tetapi berapa banyak cahaya yang masuk? Inilah terang$L(x',\omega_i)$ itu beberapa poin lainnya $x'$ mencerminkan arah $\omega_i$ titik $x$.

Sekarang Anda harus menghitung berapa banyak cahaya titik baru itu $x'$mencerminkan, yang membutuhkan penyelesaian persamaan rendering untuk titik itu. Dan solusi untuk titik itu tergantung pada sejumlah besar poin lainnya, termasuk$x$.

Singkatnya, persamaan rendering bersifat rekursif tanpa batas.

Anda tidak dapat menyelesaikannya secara tepat dan analitis karena memiliki integral tak terbatas di atas domain integrasi tak terbatas.

Tetapi karena cahaya semakin lemah setiap kali itu dipantulkan, pada titik tertentu manusia tidak bisa lagi melihat perbedaannya. Jadi Anda tidak benar-benar menyelesaikan persamaan rendering, tetapi Anda membatasi jumlah rekursi (katakan refleksi) untuk sesuatu yang 'cukup dekat'.