Bagaimana sampel yang berkorelasi memengaruhi perilaku penyaji Monte Carlo?

Sebagian besar deskripsi metode render Monte Carlo, seperti penelusuran jalur atau penelusuran jalur dua arah, mengasumsikan bahwa sampel dihasilkan secara independen; yaitu, generator nomor acak standar digunakan yang menghasilkan aliran angka independen dan terdistribusi seragam.

Kita tahu bahwa sampel yang tidak dipilih secara independen dapat bermanfaat dalam hal kebisingan. Misalnya, pengambilan sampel bertingkat dan urutan perbedaan rendah adalah dua contoh skema pengambilan sampel berkorelasi yang hampir selalu meningkatkan waktu render.

Namun, ada banyak kasus di mana dampak korelasi sampel tidak jelas. Misalnya, metode Markov Chain Monte Carlo seperti Metropolis Light Transport menghasilkan aliran sampel berkorelasi menggunakan rantai Markov; banyak metode cahaya menggunakan kembali set kecil jalur cahaya untuk banyak jalur kamera, menciptakan banyak koneksi bayangan berkorelasi; bahkan pemetaan foton mendapatkan efisiensinya dari menggunakan kembali jalur cahaya melintasi banyak piksel, juga meningkatkan korelasi sampel (meskipun dengan cara yang bias).

Semua metode rendering ini terbukti bermanfaat dalam adegan-adegan tertentu, tetapi tampaknya membuat segalanya lebih buruk di orang lain. Tidak jelas bagaimana mengukur kualitas kesalahan yang diperkenalkan oleh teknik-teknik ini, selain merender adegan dengan algoritme render yang berbeda dan mengamati apakah satu terlihat lebih baik daripada yang lain.

Jadi pertanyaannya adalah: Bagaimana korelasi sampel mempengaruhi varians dan konvergensi estimator Monte Carlo? Bisakah kita secara matematis mengukur korelasi sampel jenis mana yang lebih baik daripada yang lain? Adakah pertimbangan lain yang dapat mempengaruhi apakah korelasi sampel bermanfaat atau merugikan (misalnya kesalahan persepsi, kerlipan animasi)?

Ada satu perbedaan penting yang harus dibuat.

Metode Markov Chain Monte Carlo (seperti Metropolis Light Transport) sepenuhnya mengakui kenyataan bahwa mereka menghasilkan banyak yang sangat berkorelasi, itu sebenarnya adalah tulang punggung algoritma.

Di sisi lain ada algoritma sebagai Penelusuran Jalur Dua Arah, Metode Banyak Cahaya, Pemetaan Foton di mana peran penting memainkan Multiple Importance Sampling dan heuristik keseimbangannya. Optimalitas keseimbangan heuristik hanya terbukti untuk sampel yang independen. Banyak algoritma modern memiliki sampel yang berkorelasi dan bagi sebagian dari mereka ini menyebabkan masalah dan sebagian tidak.

Masalah dengan sampel berkorelasi diakui dalam makalah Koneksi Probabilistik untuk Penelusuran Jalur Dua Arah . Di mana mereka telah mengubah keseimbangan heuristik untuk memperhitungkan korelasinya. Lihat gambar 17 di koran untuk melihat hasilnya.

Saya ingin menunjukkan bahwa korelasi "selalu" buruk. Jika Anda mampu membuat sampel baru daripada melakukannya. Tetapi sebagian besar waktu Anda tidak mampu sehingga Anda berharap bahwa kesalahan karena korelasinya kecil.

Edit untuk menjelaskan "selalu" : Maksud saya ini dalam konteks integrasi MC

Di mana Anda mengukur kesalahan dengan varians dari estimator

Jika sampel independen, istilah kovarians adalah nol. Sampel berkorelasi membuat selalu istilah ini bukan nol sehingga meningkatkan varians dari penaksir akhir.

Ini pada pandangan pertama agak bertentangan dengan apa yang kami temui dengan pengambilan sampel bertingkat karena stratifikasi menurunkan kesalahan. Tetapi Anda tidak dapat membuktikan bahwa pengambilan sampel bertingkat menyatu dengan hasil yang diinginkan hanya dari sudut pandang probabilistik, karena dalam inti pengambilan sampel bertingkat tidak ada kemungkinan yang terlibat.

Dan kesepakatan dengan pengambilan sampel bertingkat adalah bahwa itu pada dasarnya bukan metode Monte Carlo. Pengambilan sampel bertingkat berasal dari aturan kuadratur standar untuk integrasi numerik yang berfungsi baik untuk mengintegrasikan fungsi halus dalam dimensi rendah. Inilah sebabnya mengapa digunakan untuk menangani iluminasi langsung yang merupakan masalah dimensi rendah, tetapi kelancarannya dapat diperdebatkan.

Jadi pengambilan sampel bertingkat belum jenis korelasi yang berbeda dari misalnya korelasi dalam metode Banyak Cahaya.

Fungsi intensitas hemisferis, yaitu fungsi hemisferis cahaya datang dikalikan dengan BRDF, berkorelasi dengan jumlah sampel yang diperlukan per sudut padat. Ambil contoh distribusi metode apa pun dan bandingkan dengan fungsi hemisferis itu. Semakin mirip mereka, semakin baik metode ini dalam kasus tertentu.

Perhatikan bahwa karena fungsi intensitas ini biasanya tidak diketahui , semua metode tersebut menggunakan heuristik. Jika asumsi heuristik terpenuhi, distribusi lebih baik (= lebih dekat ke fungsi yang diinginkan) daripada distribusi acak. Jika tidak, itu lebih buruk.

Misalnya, sampel penting menggunakan BRDF untuk mendistribusikan sampel, yang sederhana tetapi hanya menggunakan sebagian dari fungsi intensitas. Sumber cahaya yang sangat kuat menerangi permukaan difus pada sudut dangkal akan mendapatkan beberapa sampel, meskipun pengaruhnya mungkin masih besar. Metropolis Light Transport menghasilkan sampel baru dari yang sebelumnya dengan intensitas tinggi, yang bagus untuk beberapa sumber cahaya yang kuat, tetapi tidak membantu jika cahaya datang secara merata dari segala arah.