Bagaimana jika probabilitas tidak sama dalam ".632 Rule?"

Pertanyaan ini berasal dari pertanyaan ini tentang ".632 Rule." Saya menulis dengan referensi khusus untuk jawaban / notasi user60 sejauh itu menyederhanakan masalah.

Jawaban itu dimulai dengan sampel ukuran dengan penggantian, dari item berbeda dalam koleksi (panggil) n. Probabilitas bahwa sampel berbeda dari elemen N saat itu$n,$$n$$i^{th}$$s_i$$m$$(1 - 1/n).$

Dalam jawaban itu semua elemen N memiliki peluang yang sama untuk ditarik secara acak.

Pertanyaan saya adalah ini: anggap sebagai gantinya dalam pertanyaan di atas item yang akan ditarik sedemikian rupa sehingga mereka didistribusikan secara normal. Yaitu, kami membagi kurva normal standar dari ke menjadi (katakanlah) 100 sub-panjang sama panjang. Masing-masing dari 100 item dalam N memiliki kemungkinan ditarik yang sama dengan area yang digantikan oleh kurva dalam interval masing-masing.$Z = -4$$Z = 4$

Pemikiran saya adalah sebagai berikut:

Alasannya mirip dengan yang ada di jawaban terkait yang saya pikir. Probabilitas bahwa , dengan elemen N, adalah di mana adalah probabilitas menggambarm P ( s i ≠ m ) = ( 1 - F i ) F i s i$s_i \ne m$$m$$P(s_i \neq m) = (1 - F_i)$$F_i$$s_i.$

Probabilitas bahwa elemen m tertentu dalam sampel S ukuran n adalah

= 1 - n ∏ 1 ( 1 - F i )

$$P(m \in S) = 1 - P(m \notin S) = 1 - \prod_1^n P(s_i \neq m)$$ $$= 1 - \prod_1^n(1 - F_i).$$

Sebuah perhitungan tampaknya menunjukkan bahwa ketika panjang subinterval semakin kecil, jawabannya menyatu dengan angka yang sama seperti pada kasus pertama (probabilitas semuanya sama).$s_i$

Ini tampaknya berlawanan dengan intuisi (bagi saya) karena konstruksinya tampaknya memasukkan unsur-unsur N yang langka, jadi saya perkirakan jumlahnya lebih kecil dari 0,632.

Juga, jika ini benar, saya kira kita akan melakukannya

$$\lim_{n \to \infty} \prod_1^n(1 - F_i) =\lim (1- 1/n)^n = 1/e,$$

yang saya belum tahu benar atau salah.

Sunting: Jika itu benar mungkin akan menggeneralisasi beberapa.

Terima kasih atas wawasannya.

Pertanyaannya adalah tentang perilaku membatasi

$$= 1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\tag{1}$$

ketika tumbuh dan secara seragam menyusut sedemikian rupa sehingga (a) semuanya non-negatif dan (b) semuanya berjumlah satu. (Ini mengikuti dari konstruksi dan aksioma probabilitas.)$n$$F_i$ $F_i$

Menurut definisi, produk ini adalah eksponensial dari logaritma-nya:

$$\prod_{i=1}^n(1 - F_i) = \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right)\right).$$

Teorema Taylor (dengan bentuk Lagrange sisanya) , diterapkan ke , menetapkan itu$\log$

$$\log\left(1-F_i\right) = -F_i - \frac{1}{2}\phi_i^2 \ge -F_i - \frac{1}{2}F_i^2$$

untuk beberapa dalam interval . Dengan kata lain, logaritma ini sama dengan hingga istilah yang paling banyak kali . Tetapi ketika cukup besar untuk memastikan bahwa semua lebih kecil dari beberapa yang diberikan (kondisi yang dijamin oleh penyusutan seragam ), maka (b) menyiratkan dan oleh karena itu$\phi_i$$[0, F_i]$$-F_i$ $1/2$$F_i^2$$n$$F_i$$\epsilon\gt 0$$F_i$$n\epsilon \gt \sum F_i = 1$

$$\sum_{i=1}^n F_i^2 \le \sum_{i=1}^n \epsilon^2 \lt \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{n}.$$

Karena itu

$$-1 = -\sum_{i=1}^n F_i \ge \sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right) \ge -\sum_{i=1}^n F_i - \frac{1}{2}\frac{1}{n} = -1 - \frac{1}{2n}$$

meremas logaritma antara dua urutan konvergen ke . Karena kontinu, produk menyatu dengan eksponensial dari batas ini, . Karena itu$-1$$\exp$$\prod_{i=1}^n(1 - F_i)$$\exp(-1)$

$$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\right) = 1 - \exp(-1) \approx 0.632,$$

QED .

---

Melihat lebih dekat pada analisis ini menetapkan bahwa kesalahan dalam perkiraan ini (yang akan selalu menjadi batas bawah ) tidak lebih besar dari Misalnya, pembagian distribusi Normal standar menjadi irisan antara dan menghasilkan maksimum dekat mode , di mana kira-kira akan sama dengan luas persegi panjang di sana, . Batas di atas menetapkan nilai rumus akan berada dalam dari nilai pembatasnya. Kesalahan sebenarnya adalah urutan besarnya kurang,

$$\left(\exp\left((n/2)\max(F_i^2)\right) - 1\right)\exp(-1).$$ $n=400$$-4$$4$$F_i$$0$$\exp(-1/2)/50 \approx 0.012$$(1)$$0.011$$0.001041$ . Berikut perhitungan di R(yang dapat kami percayai karena tidak ada yang benar-benar kecil relatif terhadap ):$f_i$$1$

f <- diff(pnorm(seq(-4, 4, length.out=401))) # The normal "slices".
f <- f / sum(f)                              # Make them sum to unity.
exp(-1) - prod(1 - f)                        # Compute the error.

Memang, 1 - prod(1-f)adalah sedangkan adalah .$0.6331615\ldots$$1-\exp(-1)$$0.6321206\ldots$