Formula bentuk tertutup untuk fungsi distribusi termasuk skewness dan kurtosis?

13

Apakah ada formula seperti itu? Dengan serangkaian data yang rerata, varians, skewness, dan kurtosis diketahui, atau dapat diukur, adakah formula tunggal yang dapat digunakan untuk menghitung kepadatan probabilitas dari suatu nilai yang diasumsikan berasal dari data yang disebutkan di atas?

distributions pdf kurtosis skewness babelproofreader
sumber
Untuk distribusi normal (Gaussian), kemiringan adalah karena simetris, dan kelebihan kurtosis juga dari sifat-sifat distribusi normal. Untuk distribusi lain, rerata, varians, skewness, dan kurtosis tidak cukup untuk mendefinisikan distribusi, meskipun contoh biasanya dapat ditemukan. 00
Henry
1
@Henry Sebenarnya, di sebagian besar keluarga parameter distribusi dengan , empat momen pertama - yang dapat dipulihkan dari mean, varians, skewness, dan kurtosis - biasanya cukup untuk mengidentifikasi distribusi. kk≤4
whuber
@whuber: Itu bagi saya agak melingkar: membatasi distribusi ke keluarga di mana ada empat atau lebih sedikit parameter, mengetahui empat statistik distribusi sering mengidentifikasi parameter. Saya setuju. Tetapi salah satu poin saya pada dasarnya adalah bahwa tidak terbatas ada kemungkinan distribusi yang berbeda dengan kepadatan probabilitas yang sangat bervariasi pada titik-titik tertentu bahkan dengan empat momen pertama yang sama secara keseluruhan.
Henry
1
Saya mengerti maksud Anda, Henry: dengan "distribusi lain" yang Anda maksudkan dalam pengertian yang luas secara umum, sedangkan tanggapan saya mengartikannya dalam arti distribusi yang biasa digunakan dalam statistik (yang jarang memiliki lebih dari empat parameter). Saya pikir codicil Anda - "meskipun contoh biasanya dapat ditemukan" - mungkin menyarankan interpretasi saya yang lebih sempit.
whuber

Jawaban:

12

Ada banyak formula seperti itu. Upaya sukses pertama untuk memecahkan masalah ini tepatnya dilakukan oleh Karl Pearson pada tahun 1895, yang akhirnya mengarah ke sistem distribusi Pearson . Keluarga ini dapat diparameterisasi dengan mean, varians, skewness, dan kurtosis. Ini termasuk, sebagai kasus khusus yang umum, Distribusi Normal, Student-t, Chi-square, Inverse Gamma, dan F. Kendall & Stuart Vol 1 memberikan detail dan contoh.

whuber
sumber
7

Ini terdengar seperti pendekatan 'pencocokan momen' untuk menyesuaikan distribusi ke data. Ini umumnya dianggap bukan ide bagus (judul posting blog John Cook adalah 'jalan buntu statistik').

shabbychef
sumber
1

Tes K2 D'Agostino akan memberi tahu Anda apakah distribusi sampel berasal dari distribusi normal berdasarkan kemiringan dan kurtosis sampel.

Jika Anda ingin melakukan tes dengan asumsi distribusi tidak normal (mungkin dengan kemiringan tinggi atau kurtosis), Anda harus mencari tahu apa distribusinya. Anda dapat melihat distribusi normal miring dan distribusi normal umum . Jika Anda melakukan ini, Anda mempertimbangkan distribusi lain juga.

Thomas Levine
sumber