Asumsikan pengaturan berikut:
Biarkan . Juga . Selain itu yaitu adalah kombinasi cembung dari batas masing-masing pendukung. adalah umum untuk semua .
Saya pikir saya memiliki distribusi benar: ini adalah distribusi campuran .
Ini memiliki bagian yang berkesinambungan,
Jadi, dalam semua
sedangkan untuk fungsi massa / kepadatan campuran "diskrit / kontinu", itu adalah luar interval , ia memiliki bagian kontinu yaitu densitas seragam , tetapi untuk , dan itu memusatkan massa probabilitas positif pada .
Secara keseluruhan, ini meringkaskan kesatuan atas real.
Saya ingin dapat memperoleh, atau mengatakan sesuatu tentang, distribusi dan / atau momen dari variabel acak , sebagai .
Katakanlah, jika independen, sepertinya sebagai . Bisakah saya "mengabaikan" bagian itu, bahkan sebagai perkiraan? Maka saya akan dibiarkan dengan variabel acak yang berkisar dalam interval , terlihat seperti jumlah seragam yang disensor, dalam perjalanan mereka untuk menjadi "tidak disensor", dan jadi mungkin beberapa teorema batas pusat ... tapi saya mungkin menyimpang daripada berkumpul di sini, jadi, ada saran?
PS: Pertanyaan ini relevan, Menurunkan distribusi jumlah variabel yang disensor , tetapi jawaban @Glen_b bukan yang saya butuhkan - saya harus mengerjakan hal ini secara analitis, bahkan menggunakan perkiraan. Ini adalah penelitian, jadi tolong perlakukan itu seperti pekerjaan rumah - saran umum atau referensi ke literatur cukup baik.
sumber
Jawaban:
Saya akan mengikuti tip Henry dan memeriksa Lyapunov dengan . Fakta bahwa distribusi tidak boleh menjadi masalah, asalkan dan berperilaku dengan benar. Simulasi kasus khusus di mana , , untuk setiap menunjukkan bahwa normalitas baik-baik saja.a i b i a i = 0 b i = 1 k i = 2 / 3 i ≥ 1δ=1 ai bi ai=0 bi=1 ki=2/3 i≥1
sumber
Petunjuk:
Dengan asumsi bahwa adalah tetap dan adalah independen maka Anda dapat menghitung rata-rata dan varians dari setiap : misalnya dan Anda tahu . X i μ i σ 2 i Z i μ i = E [c Xi μi σ2i Zi μi=E[Zi]=cai+ki2+(1−c)ki ki=cai+(1−c)bi
Kemudian, dengan memberikan dan tidak tumbuh terlalu cepat, Anda dapat menggunakan kondisi Lyapunov atau Lindeberg untuk menerapkan teorema batas pusat dengan kesimpulan bahwa menyatu dalam distribusi ke standar normal, atau dalam arti melambaikan tangan kira-kira terdistribusi secara normal dengan rata-rata dan varians .ai bi 1∑n1σ2i−−−−−√(∑1nZi−∑1nμi) ∑n1Zi ∑n1μi ∑n1σ2i
sumber
Kekhawatiran utama saya dalam pertanyaan ini adalah apakah seseorang dapat menerapkan CLT "seperti biasa" dalam kasus yang saya periksa. Pengguna @Henry menegaskan bahwa seseorang dapat, pengguna @ Zen menunjukkannya melalui simulasi. Karena didorong, saya sekarang akan membuktikannya secara analitis.
Apa yang akan saya lakukan pertama adalah memverifikasi bahwa variabel ini dengan distribusi campuran memiliki fungsi menghasilkan momen "biasa". Nyatakan nilai yang diharapkan dari Z i , σ i deviasi standarnya, dan versi Z i yang terpusat dan diskala oleh ˜ Z i = Z i - μ iμi Zi σi Zi .
Menerapkan rumus perubahan variabel, kami menemukan bahwa bagian kontinu adalah
f ˜ Z ( ˜ z i)=σifZ(zi)=σiZ~i=Zi−μiσi
Fungsi penghasil momen ˜ Z sayaharus ˜ M i(t)=E(e ˜ z it)=∫ ∞ - ∞ e ˜ z sayatdF ˜ Z ( ˜ z i)=∫ ˜ k i ˜ a i σie ˜ z i
dengan ˜ k i=ki-μi
kali, (karena nilai MGF nol harus dihitung melalui batas), dan melakukan manipulasi aljabar, saya telah memverifikasi dua persamaan pertama. Kesetaraan ketiga terbukti terlalu melelahkan, tapi saya percaya itu berlaku.
Jadi kami memiliki MGF yang tepat. Jika kita mengambil ekspansi Taylor orde 2 sekitar nol, kita punya
Kemudian
Fakta bahwa perilaku istimewa pada tingkat individu, dari semua elemen individu, namun lenyap ketika kita mempertimbangkan perilaku rata-rata, saya percaya itu dipamerkan dengan sangat baik menggunakan makhluk jahat seperti variabel acak yang memiliki distribusi campuran.
sumber