Berapa rasio distribusi seragam dan normal?

11

Biarkan X mengikuti distribusi seragam dan Y mengikuti distribusi normal. Apa yang bisa dikatakan tentang XY ? Apakah ada distribusi untuk itu?

Saya menemukan rasio dua normals dengan mean nol adalah Cauchy.

rrpp
sumber
3
Untuk apa nilainya, distribusi Y/X disebut distribusi slash . Saya tidak tahu apakah timbal balik memiliki nama atau formulir tertutup.
David J. Harris
2
Dan kelas yang lebih besar yang dimiliki keduanya tampaknya merupakan distribusi rasio !
Nick Stauner
7
@ DavidJ.Harris Cukup begitu; +1. Saya telah melihat garis miring digunakan beberapa kali dalam studi ketahanan. Mungkin X/Y - sebagai garis miring terbalik - harus disebut " distribusi backslash ".
Glen_b -Reinstate Monica
1
@ rrpp Apakah Anda mengacu pada standar Uniform(0,1) , atau Uniform(a,b) ? Jika yang terakhir, maka kita perlu tahu jika a>0 , a<0 dll.
wolfies
1
terima kasih atas jawaban anda. @ serigala adalah U n i f o r m ( 0 , 1 ) dan Y memiliki rataXUniform(0,1)Y
rrpp

Jawaban:

13

Biarkan variabel acak dengan pdf f ( x ) :XUniform(a,b)f(x)

masukkan deskripsi gambar di sini

di mana saya mengasumsikan (ini kasus standar Uniform ( 0 , 1 ) ). [Hasil berbeda akan diperoleh jika mengatakan parameter a < 0 , tetapi prosedurnya persis sama. ]0<a<bUniform(0,1)a<0

Selanjutnya, misalkan , dan misalkan W = 1 / Y dengan pdf g ( w ) :YN(μ,σ2)W=1/Yg(w)

masukkan deskripsi gambar di sini

Kemudian, kami mencari pdf dari produk , katakanlah h ( v ) , yang diberikan oleh:V=XWh(v)

masukkan deskripsi gambar di sini

di mana saya menggunakan mathStatica 's TransformProductfungsi untuk mengotomatisasi seluk-gritties, dan di mana Erfmenunjukkan fungsi Kesalahan: http://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

Semua selesai.

Plot

Berikut adalah dua plot pdf:

  • Plot 1: , σ = 1 , b = 3 ... dan ... a = 0 , 1 , 2μ=0σ=1b=3a=0,1,2

masukkan deskripsi gambar di sini

  • Plot 2: μ=0,12,1σ=1a=0b=1

masukkan deskripsi gambar di sini

Monte Carlo periksa


μ=12σ=1a=0b=1

masukkan deskripsi gambar di sini

h(v)

serigala
sumber
3

Z=XYXU[0,1]YN(μ,σ2)Z

FZ(z)=P(Zz)=P(XYz)

Y>0Y<0Y>0XYzXzYY<0XYzXzY

<Z<z>0z<0

z>0(X,Y)

Wilayah Integrasi

FZ(z)=01x/zfY(y)dydx+010fY(y)dydx
fY(y)Y

Z

fZ(z)=ddz01[FY()FY(xz)]dx=01z[FY()FY(xz)]dx=01xz2fY(xz)dx=01x2πσz2exp((xzμ)22σ2)dx

Integral di atas dapat dievaluasi menggunakan urutan transformasi berikut:

  1. u=xz
  2. v=uμ
  3. vv

fZ(z)=σ2π[exp(μ22σ2)exp((1zμ)22σ2)]+μ[Φ(1zμσ)Φ(μσ)]

Φ(x)z<0

Jawaban ini dapat diverifikasi dengan simulasi. Script berikut dalam R melakukan tugas ini.

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

Berikut beberapa grafik untuk verifikasi:

  1. YN(0,1) Periksa 1
  2. YN(1,1) Periksa 2
  3. yN(1,2) Periksa 3

z=0

Comp_Warrior
sumber
1
+1 Sangat bagus! Derivasi dari prinsip-prinsip dasar selalu memuaskan dan grafik membantu pembaca untuk memahami secara instan apa yang Anda lakukan.
whuber
2


YY=N(7,1)N 1 M Y < 1 Xmin(Y)>1N1MY<1 Y<0XYY<0set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
runif

masukkan deskripsi gambar di sini

Nick Stauner
sumber
2
Ekor yang ekstrim mengeruk kepadatan. Distribusi agak seperti Cauchy. (Karena penasaran, mengapa tidak menggunakan runif? Tampaknya lebih idiomatis dan juga lebih cepat)
Glen_b -Reinstate Monica
Karena aku masih belum tahu banyak tentang R, rupanya! :) Terima kasih atas tipnya!
Nick Stauner
1
jangan khawatir. Perbedaan kecepatan tidak begitu besar, tetapi dengan 10 ^ 7 elemen, cukup untuk diperhatikan. Anda mungkin menemukan histogram yang layak dilihat ( hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10))) (sekitar 96% dari distribusi tampaknya berada di dalam batas itu)
Glen_b -Reinstate Monica
1
Wow! Tentu saja. Membuat plot kerapatan ini cukup menyesatkan, saya khawatir! Saya akan mengedit dalam histogram itu ...
Nick Stauner
1
Oh baiklah. Jangan khawatir. Anda mungkin ingin membuat nclass jauh lebih kecil dalam kasus itu. Saya pikir idealnya batangan harus sangat sempit tetapi tidak hanya garis hitam.
Glen_b -Reinstate Monica