Mengapa kesalahan standar intersep meningkatkan

Standar error dari istilah intercept ( β 0 ) di y = β 1 x + β 0 + ε diberikan oleh S E ( β 0 ) 2 = σ 2 [ 1$\hat{\beta}_0$$y=\beta_1x+\beta_0+\varepsilon$

Dari apa yang saya mengerti, SE mengkuantifikasi uncertainty- Anda misalnya, di 95% dari sampel, interval akan berisi sejati β 0 . Saya gagal memahami bagaimana SE, ukuran ketidakpastian, meningkat dengan ˉ x . Jika saya hanya menggeser data saya, sehingga ˉ x = 0 , ketidakpastian saya turun? Itu sepertinya tidak masuk akal.$[\hat{\beta}_0-2SE,\hat{\beta}_0+2SE]$$\beta_0$$\bar{x}$$\bar{x}=0$

Interpretasi analog adalah - dalam versi uncentered data bersesuaian dengan prediksi saya di x = 0 , sedangkan dalam data terpusat, ß 0 bersesuaian dengan prediksi saya di x = ˉ x . Jadi apakah ini berarti ketidakpastian saya tentang prediksi saya di x = 0 lebih besar dari ketidakpastian saya tentang prediksi saya di x = ˉ x ? Tampaknya juga tidak masuk akal, kesalahan ϵ memiliki varians yang sama untuk semua nilai $\hat{\beta}_0$$x=0$$\hat{\beta}_0$$x=\bar{x}$$x=0$$x=\bar{x}$$\epsilon$$x$, jadi ketidakpastian saya dalam nilai prediksi saya harus sama untuk semua .$x$

Ada celah dalam pemahaman saya, saya yakin. Bisakah seseorang membantu saya memahami apa yang terjadi?

Karena garis regresi yang cocok dengan kuadrat terkecil biasa harus melalui rata-rata data Anda (yaitu, ) —tidak selama Anda tidak menekan intersep — ketidakpastian tentang nilai sebenarnya dari lereng tidak berpengaruh pada posisi vertikal garis di rata-rata x (yaitu, di y ˉ x ). Ini diterjemahkan ke dalam ketidakpastian vertikal kurang di ˉ x daripada Anda memiliki semakin jauh dari ˉ x Anda. Jika memotong, di mana x = 0 adalah ˉ $(\bar x, \bar y)$$x$$\hat y_{\bar x}$$\bar x$$\bar x$$x=0$$\bar x$, Maka ini akan meminimalkan ketidakpastian tentang nilai sebenarnya dari . Dalam istilah matematika, ini diterjemahkan menjadi nilai yang mungkin terkecil dari kesalahan standar untuk β 0 . $\beta_0$$\hat\beta_0$

Berikut adalah contoh cepat di R:

set.seed(1)                           # this makes the example exactly reproducible
x0      = rnorm(20, mean=0, sd=1)     # the mean of x varies from 0 to 10
x5      = rnorm(20, mean=5, sd=1)
x10     = rnorm(20, mean=10, sd=1)
y0      = 5 + 1*x0  + rnorm(20)       # all data come from the same  
y5      = 5 + 1*x5  + rnorm(20)       #  data generating process
y10     = 5 + 1*x10 + rnorm(20)
model0  = lm(y0~x0)                   # all models are fit the same way
model5  = lm(y5~x5)
model10 = lm(y10~x10)

Angka ini agak sibuk, tetapi Anda dapat melihat data dari beberapa studi berbeda di mana distribusi lebih dekat atau lebih jauh dari 0 . Kemiringan sedikit berbeda dari studi ke studi, tetapi sebagian besar serupa. (Perhatikan mereka semua pergi melalui X dilingkari yang saya gunakan untuk mark ( ˉ x , ˉ y ) .) Meskipun demikian, ketidakpastian tentang nilai sebenarnya dari orang-orang lereng menyebabkan ketidakpastian tentang y untuk memperluas lebih lanjut Anda dapatkan dari ˉ x , yang berarti bahwa S E ( β 0$x$$0$$(\bar x, \bar y)$$\hat y$$\bar x$$SE(\hat\beta_0)$sangat luas untuk data yang diambil sampelnya di lingkungan , dan sangat sempit untuk penelitian yang datanya diambil sampelnya dekat x = 0 . $x=10$$x=0$

Edit dalam menanggapi komentar: Sayangnya, berpusat data Anda setelah Anda memiliki mereka tidak akan membantu Anda jika Anda ingin mengetahui kemungkinan nilai di beberapa x nilai x yang baru . Alih-alih, Anda harus memusatkan pengumpulan data pada titik yang Anda pedulikan sejak awal. Untuk memahami masalah ini secara lebih lengkap, Anda dapat membaca jawaban saya di sini: Interval prediksi regresi linier . $y$$x$$x_\text{new}$