Distribusi rasio variabel acak chi-square dependen

11

Asumsikan mana independen.X iN ( 0 , σ 2 )X=X1+X2++XnXiN(0,σ2)

Pertanyaan saya adalah, apa distribusi tidak

Z=X2X12+X22++Xn2

mengikuti? Saya tahu dari sini bahwa rasio dua variabel acak chi-squared dinyatakan sebagai mengikuti distribusi Beta. Saya berpikir bahwa ini mengasumsikan independensi antara W dan Y . Dalam kasus saya, penyebut Z berisi komponen X kuadrat. WYZXWW+YWYZX

Saya pikir Z juga harus mengikuti variasi distribusi Beta tetapi saya tidak yakin. Dan jika asumsi ini benar, saya tidak tahu bagaimana membuktikannya.

x0dros
sumber
6
Karena distribusi penyebut tidak berubah di bawah rotasi, Anda dapat memutar X sama dengan nX1 , yang mengurangi pertanyaan Anda menjadi sesuatu yang familier :-).
whuber
1
Saya cukup yakin @whuber berarti persis apa yang diketik di sana. Ketika Anda mengatakan 'nominator', maksud Anda 'numerator'?
Glen_b -Reinstate Monica
3
Ketika Anda memutar apa pun yang Anda (menurut definisi) mempertahankan panjangnya. Oleh karena itu varian dari setiap versi diputar harus sama dengan varian , yaitu : dari situlah istilah berasal. X 1 + 1 + + 1 = n XX1+1++1=nn
whuber
1
@whuber Jawaban Anda sepertinya memang sangat menarik, tetapi saya ragu. Ketika Anda mengatakan bahwa saya dapat memutar untuk menjadi sama dengan , ini pada dasarnya berarti bahwa saya dapat menulis ulang pembilang sebagai dan akibatnya, itu sendiri berubah menjadi . Sekarang, jika saya menganggap dan dan karena dan bersifat independen, saya dapat berasumsi bahwa memilikiXZnX 2 1 Zn X 2 1nX1ZnX12Z W=X 2 1 Y=X 2 2 ++X 2 n WYZ=nWnX12X12+X22++Xn2W=X12Y=X22++Xn2WY βZ=nWW+Yβdistribusi dan sebagainya. Apakah saya mengerti maksud Anda sekarang? Jadi, inilah kebingungan saya. Sebelum menggunakan konsep invarian rotasi dan modifyi
ssah
2
@ssah Anda salah dalam menerapkan alasan saya: tanpa dalam penyebut, distribusinya tidak lagi berubah-ubah menjadi rotasi sembarang sehingga kesimpulan tidak lagi berlaku. ( X 1 , ... , X n ) ,X12(X1,,Xn),
whuber

Jawaban:

7

Posting ini menguraikan jawaban dalam komentar untuk pertanyaan.


Biarkan . Perbaiki dari panjang unit. Vektor semacam itu dapat selalu dilengkapi dengan basis ortonormal (misalnya melalui proses Gram-Schmidt ). Perubahan basis ini (dari yang biasa) adalah ortogonal: tidak mengubah panjang. Demikianlah distribusie 1R n ( e 1 , e 2 , ... , e n )X=(X1,X2,,Xn)e1Rn(e1,e2,,en)

(e1X)2||X||2=(e1X)2X12+X22++Xn2

tidak bergantung pada . Mengambil menunjukkan ini memiliki distribusi yang sama dengane 1 =(1,0,0,,0)e1e1=(1,0,0,,0)

(1)X12X12+X22++Xn2.

Karena adalah iid Normal, mereka dapat ditulis sebagai kali iid standar, variabel normal dan kuadratnya adalah kali distribusi . Karena jumlah distribusi independen adalah , kami telah menentukan bahwa distribusi adalah dari σ Y 1 , ... , Y n σ 2 Γ ( 1 / 2 ) n - 1 Γ ( 1 / 2 ) Γ ( ( n - 1 ) / 2 ) ( 1 )XiσY1,,Ynσ2Γ(1/2)n1Γ(1/2)Γ((n1)/2)(1)

σ2Uσ2U+σ2V=UU+V

di mana dan independen. Hal ini juga diketahui bahwa rasio ini memiliki Beta distribusi. (Juga lihat utas terkait erat di Distribusi jika Beta dan chi-kuadrat dengan derajat .)V = ( X 2 2 + + X 2 n ) / σ 2 ~ Γ ( ( n - 1 ) / 2 ) ( 1 / 2 , ( n - 1 ) / 2 ) X Y X ( 1U=X12/σ2Γ(1/2)V=(X22++Xn2)/σ2Γ((n1)/2)(1/2,(n1)/2)XYXY 2 K(1,K1)Y2K

Karena

X1++Xn=(1,1,,1)(X1,X2,,Xn)=ne1X

untuk vektor satuan , kami menyimpulkan bahwa adalah kali Beta variasi. Untuk karenanya memiliki fungsi kerapatan Z(e1=(1,1,,1)/nZ(1/2,(n-1)/2)(n)2=n(1/2,(n1)/2)n2

fZ(z)=n1n/2B(12,n12)(nz)n3z

pada interval (dan sebaliknya adalah nol).(0,n)


Sebagai cek, saya mensimulasikan realisasi independen untuk dan , histogram mereka, dan menempatkan grafik kepadatan Beta yang sesuai (berwarna merah). Perjanjian itu sangat bagus.Z σ = 1 n = 2 , 3 , 10100,000Zσ=1n=2,3,10

Angka

Ini Rkodenya. Ini melakukan simulasi dengan menggunakan rumus sum(x)^2 / sum(x^2)untuk , di mana vektor panjang yang dihasilkan oleh . Sisanya hanya pengulangan ( , ) dan merencanakan ( , ).Zxnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}
whuber
sumber