Asumsikan mana independen.X i ∼ N ( 0 , σ 2 )
Pertanyaan saya adalah, apa distribusi tidak
mengikuti? Saya tahu dari sini bahwa rasio dua variabel acak chi-squared dinyatakan sebagai mengikuti distribusi Beta. Saya berpikir bahwa ini mengasumsikan independensi antara W dan Y . Dalam kasus saya, penyebut Z berisi komponen X kuadrat. WYZX
Saya pikir juga harus mengikuti variasi distribusi Beta tetapi saya tidak yakin. Dan jika asumsi ini benar, saya tidak tahu bagaimana membuktikannya.
Jawaban:
Posting ini menguraikan jawaban dalam komentar untuk pertanyaan.
Biarkan . Perbaiki dari panjang unit. Vektor semacam itu dapat selalu dilengkapi dengan basis ortonormal (misalnya melalui proses Gram-Schmidt ). Perubahan basis ini (dari yang biasa) adalah ortogonal: tidak mengubah panjang. Demikianlah distribusie 1 ∈ R n ( e 1 , e 2 , ... , e n )X= ( X1, X2, ... , Xn) e1∈ Rn ( e1, e2, ... , en)
tidak bergantung pada . Mengambil menunjukkan ini memiliki distribusi yang sama dengane 1 =(1,0,0,…,0)e1 e1= ( 1 , 0 , 0 , ... , 0 )
Karena adalah iid Normal, mereka dapat ditulis sebagai kali iid standar, variabel normal dan kuadratnya adalah kali distribusi . Karena jumlah distribusi independen adalah , kami telah menentukan bahwa distribusi adalah dari σ Y 1 , ... , Y n σ 2 Γ ( 1 / 2 ) n - 1 Γ ( 1 / 2 ) Γ ( ( n - 1 ) / 2 ) ( 1 )Xsaya σ Y1, ... , Yn σ2 Γ ( 1 / 2 ) n - 1 Γ(1/2) Γ((n−1)/2) (1)
di mana dan independen. Hal ini juga diketahui bahwa rasio ini memiliki Beta distribusi. (Juga lihat utas terkait erat di Distribusi jika Beta dan chi-kuadrat dengan derajat .)V = ( X 2 2 + ⋯ + X 2 n ) / σ 2 ~ Γ ( ( n - 1 ) / 2 ) ( 1 / 2 , ( n - 1 ) / 2 ) X Y X ∼ ( 1U=X21/σ2∼Γ(1/2) V=(X22+⋯+X2n)/σ2∼Γ((n−1)/2) (1/2,(n−1)/2) XY X∼ Y ∼ 2 K(1,K−1) Y∼ 2K
Karena
untuk vektor satuan , kami menyimpulkan bahwa adalah kali Beta variasi. Untuk karenanya memiliki fungsi kerapatan Z( √e1=(1,1,…,1)/n−−√ Z (1/2,(n-1)/2)(n−−√)2=n (1/2,(n−1)/2) n≥2
pada interval (dan sebaliknya adalah nol).(0,n)
Sebagai cek, saya mensimulasikan realisasi independen untuk dan , histogram mereka, dan menempatkan grafik kepadatan Beta yang sesuai (berwarna merah). Perjanjian itu sangat bagus.Z σ = 1 n = 2 , 3 , 10100,000 Z σ=1 n=2,3,10
IniZ
R
kodenya. Ini melakukan simulasi dengan menggunakan rumussum(x)^2 / sum(x^2)
untuk , di mana vektor panjang yang dihasilkan oleh . Sisanya hanya pengulangan ( , ) dan merencanakan ( , ).x
n
rnorm
for
apply
hist
curve
sumber