Apakah diferensial geometri ada hubungannya dengan statistik?

Saya menguasai bidang statistik dan saya disarankan untuk belajar diferensial geometri. Saya akan lebih senang mendengar tentang aplikasi statistik untuk geometri diferensial karena ini akan membuat saya termotivasi. Adakah yang tahu aplikasi untuk geometri diferensial dalam statistik?

Dua buku kanonik tentang masalah ini, dengan ulasan, kemudian dua referensi lainnya:

• Diferensial Geometri dan Statistik , MK Murray, JW Rice

  Sejak diperkenalkan oleh Rao pada tahun 1945 dari metrik informasi Fisher pada keluarga distribusi probabilitas, telah ada minat di antara para ahli statistik dalam penerapan geometri diferensial untuk statistik. Minat ini telah meningkat pesat dalam beberapa dekade terakhir dengan karya sejumlah besar peneliti. Sampai sekarang hambatan untuk penyebaran ide-ide ini ke komunitas yang lebih luas dari ahli statistik adalah kurangnya teks yang cocok memperkenalkan pendekatan bebas modern koordinasi untuk geometri diferensial dengan cara yang dapat diakses oleh ahli statistik. Buku ini bertujuan untuk mengisi celah ini. Para penulis membawa ke buku pengalaman penelitian yang luas dalam geometri diferensial dan penerapannya pada statistik. Buku ini dimulai dengan studi tentang manifold diferensial paling sederhana - ruang affine dan relevansinya dengan keluarga eksponensial dan diteruskan ke teori umum, metrik informasi Fisher, koneksi Amari dan asimtotik. Ini memuncak dalam teori bundel vektor, bundel prinsip dan jet dan penerapannya pada teori string - sebuah topik saat ini di ujung tombak penelitian dalam statistik dan geometri diferensial.

• Metode Geometri Informasi , S.-I. Amari, H. Nagaoka

  Informasi geometri menyediakan ilmu matematika dengan kerangka analisis baru. Ini telah muncul dari penyelidikan struktur geometrik diferensial alami pada bermacam-macam distribusi probabilitas, yang terdiri dari metrik Riemann yang ditentukan oleh informasi Fisher dan satu-parameter keluarga koneksi affine yang disebutkoneksi- α . Dualitas antarakoneksi- α dan ( - α $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$-Koneksi bersama-sama dengan metrik memainkan peran penting dalam geometri ini. Dualitas semacam ini, yang muncul dari bermacam-macam distribusi probabilitas, ada di mana-mana, muncul dalam berbagai masalah yang mungkin tidak memiliki hubungan eksplisit dengan teori probabilitas. Melalui dualitas, dimungkinkan untuk menganalisis berbagai masalah mendasar dalam perspektif yang seragam. Paruh pertama buku ini dikhususkan untuk pengantar komprehensif tentang dasar matematika geometri informasi, termasuk pendahuluan dari geometri diferensial, geometri manifold atau distribusi probabilitas, dan teori umum koneksi dual affine. Paruh kedua dari teks memberikan gambaran tentang banyak bidang aplikasi, seperti statistik, sistem linier, teori informasi, mekanika kuantum, analisis cembung, jaringan saraf, dan affine diferensial geometri. Buku ini dapat berfungsi sebagai teks yang sesuai untuk kursus topik untuk mahasiswa tingkat sarjana dan pascasarjana.

• Geometri diferensial dalam inferensi statistik , S.-I. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen, dan CR Rao, Catatan Kuliah IMS Monogr. Ser. Volume 10, 1987, 240 hlm.

• Peran Geometri Diferensial dalam Teori Statistik , OE Barndorff-Nielsen, DR Cox dan N. Reid, Tinjauan Statistik Internasional / Revue Internationale de Statistique, Vol. 54, No. 1 (Apr., 1986), hlm. 83-96

Geometri Riemann digunakan dalam studi bidang acak (generalisasi proses stokastik), di mana prosesnya tidak harus stasioner. Referensi yang saya pelajari diberikan di bawah ini dengan dua ulasan. Ada aplikasi dalam oseanografi, astrofisika dan pencitraan otak.

Bidang dan Geometri Acak , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

Ulasan:

$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$adalah manifold bertingkat Riemannian, dan pendekatan mereka bersifat geometris. Buku ini dibagi menjadi tiga bagian. Bagian I dikhususkan untuk presentasi alat yang diperlukan dari proses dan bidang Gaussian. Bagian II secara ringkas mengungkap prasyarat yang diperlukan dari geometri integral dan diferensial. Akhirnya, pada bagian III, inti dari buku ini, formula untuk ekspektasi fungsi karakteristik Euler dari set tamasya dan perkiraannya terhadap distribusi maksimum bidang, ditetapkan dengan tepat. Buku ini ditulis dalam gaya informal, yang memberikan bacaan yang sangat menyenangkan. Setiap bab dimulai dengan presentasi dari hal-hal yang akan dibahas, dan catatan kaki, yang terletak di seluruh teks, berfungsi sebagai pelengkap yang sangat diperlukan dan sering kali sebagai referensi sejarah.

"Buku ini menyajikan teori modern tentang probabilitas perjalanan dan geometri set perjalanan untuk ... bidang acak yang didefinisikan pada manifold. ... Buku ini dapat dimengerti oleh siswa ... dengan latar belakang yang baik dalam analisis. ... Sifat interdisipliner dari buku ini , keindahan dan kedalaman dari teori matematika yang disajikan membuatnya menjadi bagian yang tak terpisahkan dari setiap perpustakaan matematika dan rak buku dari semua probabilis yang tertarik pada proses Gaussian, bidang acak dan aplikasi statistik mereka. " (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, Vol. 1149, 2008)

Salah satu bidang statistik / matematika terapan di mana geometri diferensial digunakan dalam cara yang penting (bersama dengan banyak bidang matematika lainnya!) Adalah teori pola . Anda bisa melihat buku oleh Ulf Grenander: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 atau teks yang lebih mudah diakses oleh David Mumford (pemenang medali bidang tidak kurang): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=15&hl=id&hl=id&hl=id&hl=id&hl=id = LIesY & psc = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

Dari kata pengantar dari teks terakhir:

Istilah "teori pola" diciptakan oleh Ulf Grenander untuk membedakan pendekatannya terhadap analisis struktur berpola di dunia dari "pengenalan pola." semua "sinyal" yang dihasilkan oleh dunia, apakah itu berupa gambar, suara, teks tertulis, string DNA atau protein, lonjakan kereta api dalam neuron, atau rangkaian waktu harga atau cuaca; contoh-contoh dari semua ini muncul baik dalam buku Elements of Pattern Theory [94] atau dalam karya kolega, kolaborator, dan siswa kami tentang teori pola.

Salah satu contoh di mana geometri diferensial digunakan untuk model wajah.

Mencoba menjawab pertanyaan (dalam komentar) oleh @whuber, lihat bab 16 buku Grenander, dengan judul "anatomi komputasi". Manifold di sana digunakan untuk mewakili berbagai bagian anatomi manusia (seperti perapian), dan difeomorhisme digunakan untuk mewakili perubahan manifold anatomi ini, memungkinkan perbandingan, pemodelan pertumbuhan, pemodelan aksi beberapa penyakit. Ide-ide ini dapat ditelusuri kembali ke risalah monumental D'Arcy Thompson "tentang pertumbuhan dan bentuk" dari tahun 1917!

Grenander terus mengutip dari risalah itu:

Dalam bagian morfologi yang sangat besar, tugas penting kita terletak pada perbandingan bentuk terkait dan bukan pada definisi yang tepat dari masing-masing; dan deformasi dari figur yang rumit mungkin merupakan fenomena yang mudah dipahami, meskipun figur itu sendiri harus dibiarkan tidak dianalisis dan tidak terdefinisi. Proses perbandingan ini, mengenali dalam satu bentuk permutasi yang pasti atau deformasi yang lain, selain sama sekali dari pemahaman yang tepat dan memadai tentang "jenis" atau standar perbandingan, terletak dalam provinsi matematika langsung dan menemukan solusinya dalam Penggunaan dasar metode tertentu dari ahli matematika. Metode ini adalah Metode Koordinat, yang didasarkan pada Teori Transformasi.

Contoh paling terkenal dari ide-ide ini adalah kapan beberapa anak menghilang, katakan tiga tahun lalu, dan seseorang menerbitkan beberapa foto wajahnya, berubah (biasanya menggunakan splines), menjadi seperti apa dia saat ini.