Contoh sederhana

26

Siswa pekerja keras adalah contoh tandingan untuk "semua siswa malas".

Apa sajakah contoh tandingan sederhana untuk "jika variabel acak dan tidak berkorelasi maka mereka independen"? $X$ $Y$

correlation random-variable independence Clare Brown
sumber

8

Saya pikir ini adalah duplikat, tapi saya terlalu malas untuk mencarinya. Ambil dan . , tetapi jelas kedua variabel tersebut tidak independen.

X \sim N (0, 1)

$X\sim N(0,1)$

Y = X^{2}

$Y=X^2$

c o v (X, Y) = E X^{3} = 0

$cov(X,Y)=EX^3=0$

mpiktas

1

contoh sederhana (meskipun mungkin ada yang lebih sederhana)

Glen_b -Reinstate Monica

1

Ambil akan merata pada dan , .

U

$U$

[0, 2 π]

$[0,2\pi]$

X = \cos U

$X=\cos U$

Y = \sin U

$Y = \sin U$

Dilip Sarwate

Karena rasa "paling sederhana" tidak terdefinisi, pertanyaan ini tidak dapat dijawab secara objektif. Saya memilih duplikat di stats.stackexchange.com/questions/41317 atas dasar = jumlah terkecil kardinalitas dukungan dari distribusi marginal.

whuber

3

@whuber: Meskipun "paling sederhana" memang tidak didefinisikan dengan sangat baik, jawaban di sini, misalnya jawaban oleh Glen_b jelas memberikan contoh yang jauh lebih sederhana daripada utas yang Anda tutup ini sebagai duplikat. Saya menyarankan untuk membuka kembali yang ini (saya sudah memilih) dan mungkin membuatnya menjadi CW untuk menyoroti fakta bahwa "paling sederhana" tidak didefinisikan dengan baik dan OP mungkin meminta berbagai contoh "sederhana".

Amuba kata Reinstate Monica

18

Biarkan . $X\sim U(-1,1)$

Biarkan . $Y=X^2$

Variabel tidak berkorelasi tetapi tergantung.

Sebagai alternatif, perhatikan distribusi bivariat diskrit yang terdiri dari probabilitas pada 3 titik (-1,1), (0, -1), (1,1) dengan probabilitas masing-masing 1/4, 1/2, 1/4. Kemudian variabel tidak berkorelasi tetapi tergantung.

Pertimbangkan seragam data bivariat dalam berlian (persegi diputar 45 derajat). Variabel akan tidak berkorelasi tetapi tergantung.

Itu adalah kasus paling sederhana yang bisa saya pikirkan.

Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Apakah semua variabel acak yang simetris dan berpusat di sekitar 0 tidak berkorelasi?

Martin Thoma

1

@moose Deskripsi Anda ambigu. Jika Anda maksudkan "jika simetris tentang nol dan simetris tentang nol" maka tidak, karena normal bivariat dengan margin normal standar dapat dikorelasikan, misalnya. Jika Anda maksudkan "jika adalah simetris tentang nol dan adalah fungsi genap dari ", maka selama varians ada, saya yakin jawabannya adalah ya. Jika Anda bermaksud sesuatu yang lain, Anda harus menjelaskan.

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Glen_b -Reinstate Monica

7

Saya pikir esensi dari beberapa contoh tandingan sederhana dapat dilihat dengan memulai dengan variabel acak kontinu berpusat pada nol, yaitu . Misalkan pdf adalah genap dan didefinisikan pada interval bentuk , di mana . Sekarang anggaplah untuk beberapa fungsi . Kami sekarang mengajukan pertanyaan: untuk fungsi apa dapatkah kita memiliki ? $X$ $E[X]=0$ $X$ $(-a,a)$ $a>0$ $Y=f(X)$ $f$ $f(X)$ $Cov(X,f(X))=0$

Kita tahu bahwa . Asumsi kami bahwa membawa kita langsung ke . Mendenotasikan pdf dari melalui , kami miliki $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$ $E[X]=0$ $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$ $X$ $p(\cdot)$

$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$ .

Kami ingin dan salah satu cara untuk mencapai ini adalah dengan memastikan adalah fungsi genap, yang menyiratkan adalah fungsi yang aneh. Kemudian berikut bahwa , dan begitu . $Cov(X,f(X))=0$ $f(x)$ $xf(x)p(x)$ $\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$ $Cov(X,f(X))=0$

Dengan cara ini, kita dapat melihat bahwa distribusi yang tepat dari tidak penting sebagai bersama sebagai pdf adalah simetris sekitar beberapa titik dan fungsi bahkan akan melakukan untuk mendefinisikan . $X$ $f(\cdot)$ $Y$

Mudah-mudahan, ini dapat membantu siswa melihat bagaimana orang-orang menghasilkan jenis-jenis contoh tandingan ini.

Harjoat Bhamra
sumber

5

Jadilah contoh tandingan (yaitu siswa pekerja keras)! Dengan mengatakan:

Saya mencoba untuk memikirkan contoh dunia nyata dan ini adalah yang pertama muncul di pikiran saya. Ini tidak akan menjadi kasus yang paling sederhana secara matematis (tetapi jika Anda memahami contoh ini, Anda harus dapat menemukan contoh yang lebih sederhana dengan guci dan bola atau sesuatu).

$N(100, \sigma^2)$ $N(100, \alpha \sigma^2)$ $\alpha<1$

Dengan asumsi bahwa penelitian ini benar:

Apa korelasi gender dan IQ?

Apakah gender dan IQ independen?

Har
sumber

4

$X\in\{-1,0,1\}$ $\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

$Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

$X$ $Y$

StubbornAtom
sumber

2

Coba ini (kode R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

$x^2+y^2-r^2=0$

$Y$ $x$

Analis
sumber

1

Korelasi sampel nol tidak berarti bahwa korelasi sebenarnya adalah nol.

mpiktas

3

@mpiktas Jika keempat nilai tersebut mewakili masing-masing distribusi bivariat dengan probabilitas 1/4, corfungsi yang mengembalikan nol akan menunjukkan korelasi populasi nol.

Glen_b -Reinstate Monica

@ Glen_b Saya seharusnya membuat komentar yang lebih baik pada kode. Ini mungkin tidak diketahui semua orang. Anda dapat menggunakan titik koma yang menurut saya tidak direkomendasikan sebagai gaya pengkodean dalam R.

Analis

1

@ Glen_b ya Anda benar. Tapi ini tidak disebutkan. Pengamatan bagus btw.

mpiktas

1

Satu-satunya kasus umum ketika kurangnya korelasi menyiratkan independensi adalah ketika distribusi gabungan X dan Y adalah Gaussian.

Frederik Meinertsen
sumber

2

Ini tidak secara langsung menjawab pertanyaan dengan menghasilkan contoh sederhana - dalam pengertian itu, ini lebih merupakan komentar - tetapi memberikan jawaban tidak langsung, dalam hal itu menunjukkan serangkaian contoh yang sangat luas. Mungkin perlu mengulangi posting ini untuk memperjelas bagaimana menjawab pertanyaan awal.

Silverfish

-1

Jawaban dua kalimat: kasus paling jelas dari ketergantungan statistik tidak berkorelasi adalah fungsi non-linear RV, katakanlah Y = X ^ n. Kedua RV tersebut jelas tergantung tetapi belum berkorelasi, karena korelasi adalah hubungan linier.

John Strong
sumber

X

$X$

X

$X$

Y = X^{n}

$Y=X^n$

Jawaban ini salah. Dalam R: Ekspresi: {x <- runif (100); cor (x, x ^ 3)} Hasil: 0.9062057

Josh

Contoh sederhana

Jawaban: