Distribusi sampel dari jari-jari distribusi normal 2D

Distribusi normal bivariat dengan mean dan matriks kovarians \ Sigma dapat ditulis ulang dalam koordinat polar dengan jari-jari r dan sudut \ theta . Pertanyaan saya adalah: Apa distribusi sampling \ hat {r} , yaitu, dari jarak dari titik x ke estimasi pusat \ bar {x} diberi matriks kovarian sampel S ?$\mu$$\Sigma$$r$r x ˉ x S$\theta$$\hat{r}$$x$$\bar{x}$$S$

Latar Belakang: Jarak sebenarnya $r$ dari titik $x$ ke mean $\mu$ mengikuti distribusi Hoyt . Dengan nilai eigen $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ dari $\Sigma$ , dan $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ , parameter bentuknya adalah $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ , dan parameter skalanya adalah $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$ . Fungsi distribusi kumulatif dikenal sebagai perbedaan simetris antara dua fungsi-Marcum.

Simulasi menunjukkan bahwa memasukkan perkiraan $\bar{x}$ dan $S$ untuk $\mu$ dan $\Sigma$ ke dalam cdf yang sebenarnya berfungsi untuk sampel besar, tetapi tidak untuk sampel kecil. Diagram berikut menunjukkan hasil dari 200 kali

• mensimulasikan 20 vektor normal 2D untuk setiap kombinasi dari q yang diberikan $q$( $x$ -aksi), $\omega$ (baris), dan kuantil (kolom)
• untuk setiap sampel, menghitung kuantil tertentu dari radius yang diamati $\hat{r}$ sampai $\bar{x}$
• untuk setiap sampel, menghitung kuantil dari Hoyt teoritis (2D normal) cdf, dan dari cdf Rayleigh teoritis setelah menghubungkannya dengan perkiraan sampel $\bar{x}$ dan $S$ .

Saat mendekati 1 (distribusinya menjadi melingkar), estimasi Hoyt quantiles mendekati perkiraan Rayleigh quantiles yang tidak terpengaruh oleh . Ketika tumbuh, perbedaan antara kuantil empiris dan yang diperkirakan meningkat, terutama di bagian ujung distribusi.$q$$q$$\omega$

Seperti yang Anda sebutkan di pos Anda, kami tahu distribusi estimasi jika kami diberikan sehingga kami tahu distribusi estimasi dari true . μ ^ r 2 t r u e r$\widehat{r_{true}}$$\mu$$\widehat{r^2_{true}}$$r^2$

Kami ingin menemukan distribusi mana diekspresikan sebagai vektor kolom.x

$$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$$ $x_i$

Kami sekarang melakukan trik standar

$$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$$ mana muncul dari persamaan dan transposnya.$(1)$ $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$$

Perhatikan bahwa adalah jejak dari matriks kovarian sampel dan hanya bergantung hanya pada mean sampel . Jadi kita telah menulis sebagai jumlah dari dua variabel acak independen. Kita tahu distribusi dan dan jadi kita selesai melalui trik standar menggunakan itu fungsi karakteristiknya multiplikatif.$\widehat{r^2}$$S$$(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$$\overline{x}$

$$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$$ $\widehat{r^2_{true}}$$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

Diedit untuk menambahkan:

$||x_i-\mu||$adalah Hoyt sehingga memiliki pdf mana adalah fungsi Bessel dimodifikasi dari jenis pertama .

$$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$$ $I_0$$0^{th}$

Ini berarti pdf dari adalah $||x_i-\mu||^2$

$$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$$

Untuk memudahkan notasi, atur , dan .$a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$$b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$$c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

Fungsi penghasil momen adalah $||x_i-\mu||^2$

$$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$$

Dengan demikian fungsi penghasil momen dari adalah dan fungsi penghasil momen adalah $\widehat{r^2_{true}}$

$$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$$ $||\overline{x} - \mu||^2$ $$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$$

Ini menyiratkan bahwa fungsi pembangkit momen adalah $\widehat{r^2}$

$$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$$

Menerapkan transformasi Laplace terbalik memberikan bahwa memiliki pdf $\widehat{r^2}$

$$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$$