Berapa probabilitas bahwa distribusi normal dengan varians tak terbatas memiliki nilai lebih besar dari rata-rata?

Saya ditanya sesuatu yang mirip dengan ini dalam wawancara hari ini.

Pewawancara ingin tahu berapa probabilitas bahwa opsi at-the-money akan berakhir di-the-money ketika volatilitas cenderung tak terbatas.

Saya katakan 0% karena distribusi normal yang mendasari model Black-Scholes dan hipotesis jalan acak akan memiliki varian yang tak terbatas. Jadi saya pikir probabilitas semua nilai akan menjadi nol.

Pewawancara saya mengatakan jawaban yang tepat adalah 50% karena distribusi normal akan tetap simetris dan hampir seragam. Jadi, ketika Anda mengintegrasikan dari mean ke + infinity Anda mendapatkan 50%.

Saya masih belum yakin dengan alasannya.

Siapa yang benar?

Tidak ada bentuk penalaran yang ketat secara matematis - tidak ada yang namanya distribusi normal dengan varian tak terbatas, juga tidak ada distribusi terbatas ketika varians tumbuh besar - jadi mari kita sedikit berhati-hati.

$t \to \infty$$t$$0$$0$$1/2$$t \gt 0$$1/2$

$X_1, X_2,\ldots, X_n$$\mu$$\sigma_n$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$$\sigma_n\to \infty$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$$\sigma_n$

Secara intuitif, alih-alih menyusun distribusi normal varian tak terhingga, Anda harus membayangkan distribusi varian terbatas dan bekerja dengan batas-batasnya.

Anda harus melakukan analisis berdasarkan distribusi log normal, bukan yang normal. Anda pewawancara salah ketika ia menyatakan bahwa distribusinya simetris. Tidak akan pernah, terlepas dari variansnya. Anda juga perlu membedakan antara volatilitas dan apa yang Anda sebut varians tak terbatas. Harga saham, misalnya, tidak memiliki batas atas, sehingga memiliki "varian tak terbatas".