Untuk variabel acak kontinu, mengapa

Buku teks saya menempatkan ini di sidebox dengan tajuk "Note" dan tidak menjelaskan alasannya. Bisakah Anda memberi tahu saya mengapa pernyataan ini berlaku?

$P(a < Z < b) = P(a \leq Z < b) = P(a < Z \leq b) = P(a \leq Z \leq b)$

Tidak ada yang formal untuk ditambahkan ke ini, tetapi analogi yang benar-benar membantu saya untuk memahami ini berasal dari teks kalkulus. Bayangkan Anda memiliki pipa besi dengan panjang dan berat tertentu. Dan Anda ingin memotongnya menjadi dua bagian. Jika panjang pipa adalah 1 m, Anda mungkin ingin memotongnya menjadi setengahnya pada tanda 0,5. Sekarang pikirkan berat pipa sebagai beberapa kali konstan panjang pipa, (kami berasumsi bahwa semua penampang dengan panjang yang sama memiliki berat yang sama).

Memotong pipa menjadi setengah pada tanda 0,5 m - berapa berat yang Anda turunkan? Ingatlah bahwa satu-satunya bagian melintang yang Anda hapus adalah tanda 0,5 m itu sendiri. Jadi berapa panjang penampang ini? Pertimbangkan bahwa 0.49999999 ... tidak terpisah darinya, dan tidak ada 0,5000000000 ... 1, atau titik lain yang dekat, tetapi tidak sama dengan 0,5 - sehingga panjang penampang ini secara teknis nol. Yang berarti Anda tidak benar-benar menghilangkan berat sama sekali.

Ini akan menjelaskan mengapa dan pada dasarnya sama untuk variabel kontinu - termasuk atau mengecualikan titik akhir benar-benar tidak mengubah apa pun - untuk setiap titik yang Anda pilih dekat dengan titik akhir, masih ada jumlah poin yang tak terbatas di antara mereka.$\leq$$<$

Apakah ini masuk akal?

Pertama saya akan memberikan definisi (benar-benar) variabel acak kontinu . $Z$

(Probabilitas lanjutan diperlukan, Anda banyak melewatkannya!)

Biarkan menjadi ruang probabilitas dan biarkan menjadi vektor acak. Probabilitas pada didefinisikan oleh , disebut distribusi . Sekarang jika mana adalah ukuran Lebesgue pada , (yaitu benar - benar kontinu terhadap ) maka kita mengatakan bahwa adalah vektor acak kontinu (mutlak). Sekarang dengan menggunakan teorema Radon-Nikodym$(\Omega,F, P)$$Z:\Omega\rightarrow R^n$$P_X$$B(R^n)$$P_Z(A)=P\{Z\in A\}$$A \in B(R^n)$$Z$$P_Z\ll \mu,$$\mu$$R^n$$P$$\mu$$Z$, ada fungsi sehingga untuk semua . Kami menyebutnya fungsi kepadatan .$f: R^n\to[0,+\infty]$$P_Z(A)=\int_{A}fd_{\mu}$$A \in B(R^n)$$f$$Z$

Sekarang tentukan fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari variabel acak benar-benar kontinu sebagai:$Z$

$$F_Z(z)=P(Z\leq z).$$

Sebelum saya memberikan bukti formal, mari kita memiliki contoh variabel acak kontinu yang terdistribusi secara merata yaitu dengan fungsi kerapatan probabilitas untuk dan 0 sebaliknya. Sekarang mari kita cari . Kami memilikiKita dapat mengecilkan interval itu untuk mendapatkan perkiraan yang lebih baik sebagai berikut:Seperti yang Anda lihat, probabilitas ini konvergen ke nol saat kami mengecilkan panjang interval. Sekarang mari kita buktikan secara formal. Saya akan menunjukkan bahwa untuk setiap variabel acak kontinu$f(z)=1$$0\leq z \leq 1$$P(z=0.5)$

$$P(z=0.5)\sim P(0.4< z\leq 0.6)=\int_{0.4}^{0.6}f(z)d_z=0.2.$$ $$P(z=0.5)\sim P(0.49< z\leq 0.51)=\int_{0.49}^{0.51}f(z)d_z=0.02,$$ $$P(z=0.5)\sim P(0.499< z\leq 0.501)=\int_{0.499}^{0.501}f(z)d_z=0.002.$$ $Z$ , kita memiliki: dengan menggunakan CDF. karena fungsi CDF, , adalah fungsi "terus menerus" untuk terus menerus variabel acak . Demikian pula . Akhirnya perhatikan bahwaJadiAnda bisa menggunakan argumen yang sama untuk persamaan lainnya. $$P(Z=a)=0,$$ $$P(Z=a)=\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon< Z\leq a+\epsilon)=\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a+\epsilon)-\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a-\epsilon)\\=F_Z(a)-F_Z(a)=0,$$ $F$$Z$$P(Z=b)=0$
$$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B).$$ $$P(a\leq Z<b)=P\Big(\{Z=a\}\bigcap \{a<Z<b\}\Big)=P(Z=a)+P(a<Z<b)\\=0+P(a<Z<b)=P(a<Z<b).$$

Mungkin penjelasan yang lebih intuitif adalah bahwa untuk variabel kontinu kontribusi tepi (misalnya, atau ) terhadap probabilitas kumulatif dalam interval sekitarnya (atau semi-interval) sangat kecil.$a$$b$