Membiarkan dan menjadi dua variabel acak independen dengan masing-masing pdf:
untuk . Dua sampel indepedent diambil untuk menguji terhadap dengan ukuran dan dari distribusi ini. Saya perlu menunjukkan bahwa LRT dapat ditulis sebagai fungsi statistik yang memiliki distribusi , di bawah .
Karena tumpukan distribusi ini adalah , statistik LRT menjadi (saya melewatkan beberapa langkah yang membosankan di sini):
Saya tahu bahwa distribusi didefinisikan sebagai hasil bagi dari dua variabel acak chi-square independen, masing-masing atas derajat kebebasan masing-masing. Selain itu, karena bawah nol, lalu dan .
Tetapi bagaimana saya bisa melanjutkan dari sini? Ada petunjuk?
Terima kasih.
Jawaban:
Jika ingatanku, tampaknya Anda telah melupakan sesuatu dalam statistik LR Anda.
Fungsi kemungkinan di bawah nol adalah
dan MLE adalah
Begitu
Di bawah alternatif, kemungkinannya adalah
dan MLE adalah
Begitu
Pertimbangkan rasionya
Sampel berarti independen - jadi saya percaya Anda sekarang dapat menyelesaikan ini.
sumber
Fungsi kemungkinan diberikan sampelx =(x1, ... ,xn1,y1, ... ,yn2) diberikan oleh
Kriteria uji LR untuk pengujianH0:θ1=θ2 melawan H1:θ1≠θ2 berbentuk
dimanaθ^ adalah MLE dari θ1=θ2 (dibawah H0 ), dan θ^i adalah MLE tidak dibatasi dari θi untuk i=1,2 .
Mudah diverifikasi itu(θ^1,θ^2)=(x¯,y¯)
danθ^=n1x¯+n2y¯n1+n2
Setelah penyederhanaan, kami mendapatkan simetri ini untuk kriteria LRT:
Mempelajari sifat fungsig , kita lihat itu g′(t)≷0⟺t≶n1n1+n2
Sekarang sejak2n1X¯¯¯¯/θ1∼χ22n1 dan 2n2Y¯¯¯¯/θ2∼χ22n2 didistribusikan secara independen, kami punya X¯¯¯¯Y¯¯¯¯∼H0F2n1,2n2
Menetapkanv=n1x¯¯¯n2y¯¯¯
, makat=vv+1↑v
Karena itu,
dimanac1,c2 dapat ditemukan dari beberapa batasan ukuran dan fakta bahwa, di bawah H0 , n2n1v∼F2n1,2n2
sumber