Rasio Kemungkinan untuk distribusi Eksponensial dua sampel

8

Membiarkan Xdan menjadi dua variabel acak independen dengan masing-masing pdf:Y

f(x;θi)={1θiex/θi0<x<,0<θi<0elsewhere

untuk . Dua sampel indepedent diambil untuk menguji terhadap dengan ukuran dan dari distribusi ini. Saya perlu menunjukkan bahwa LRT dapat ditulis sebagai fungsi statistik yang memiliki distribusi , di bawah .i=1,2H0:θ1=θ2H1:θ1θ2n1n2ΛFH0


Karena tumpukan distribusi ini adalah , statistik LRT menjadi (saya melewatkan beberapa langkah yang membosankan di sini):θ^=x¯

Λ=x¯n1y¯n2(n1+n2)n1x¯+n2y¯

Saya tahu bahwa distribusi didefinisikan sebagai hasil bagi dari dua variabel acak chi-square independen, masing-masing atas derajat kebebasan masing-masing. Selain itu, karena bawah nol, lalu dan .FXsaya,YsayaΓ(1,θ1)XsayaΓ(n1,θ1)YsayaΓ(n2,θ1)

Tetapi bagaimana saya bisa melanjutkan dari sini? Ada petunjuk?

Terima kasih.

JohnK
sumber
Petunjuk: Variabel acak eksponensial secara linier terkait dengan variabel acak dengan dua derajat kebebasan, dan dengan demikian variabel acak dengan parameter urutan secara linear terkait dengan variabel acak acak dengan derajat kebebasan . χ2Γnχ22n
Dilip Sarwate
@DilipSarwate Saya dapat melihat bahwa . Haruskah saya melanjutkan dan mencoba memformulasi ulang fraksi saya sesuai dengan itu? Z=2θ1Xiχ2(2n1)
JohnK
2
Mungkin Anda perlu tidak melewatkan beberapa langkah yang membosankan dan benar-benar menurunkan rasio kemungkinan dari awal bukannya melompat ke kemungkinan maksimum estimator. Ini adalah masalah tentang pengujian hipotesis, bukan tentang estimasi kemungkinan maksimum dari parameter yang tidak . θsaya
Dilip Sarwate
@DilipSarwate Anda salah paham. Saya memiliki langkah-langkah perantara ini yang telah ditulis tetapi belum disajikan di sini. Inilah yang Anda dapatkan setelah penyederhanaan.
JohnK
2
Mungkin Anda bisa mulai dengan menjelaskan kepada saya (seorang ahli non-statistik, omong-omong) apa arti T dalam LRT.
Dilip Sarwate

Jawaban:

4

Jika ingatanku, tampaknya Anda telah melupakan sesuatu dalam statistik LR Anda.

Fungsi kemungkinan di bawah nol adalah

LH0=θn1n2exp{θ1(xi+yi)}

dan MLE adalah

θ^0=xi+yin1+n2=w1x¯+w2y¯,w1=n1n1+n2,w2=n2n1+n2

Begitu

LH0(θ^0)=(θ^0)n1n2en1n2

Di bawah alternatif, kemungkinannya adalah

LH1=θ1n1exp{θ11(xi)}θ2n2exp{θ21(yi)}

dan MLE adalah

θ^1=xin1=x¯,θ^2=yin2=y¯

Begitu

L.H1(θ^1,θ^2)=(θ^1)-n1(θ^2)-n2e-n1-n2

Pertimbangkan rasionya

L.H1(θ^1,θ^2)L.H0(θ^0)=(θ^0)n1+n2(θ^1)n1(θ^2)n2=(θ^0θ^1)n1(θ^0θ^2)n2

=(w1+w2y¯x¯)n1(w1x¯y¯+w2)n2

Sampel berarti independen - jadi saya percaya Anda sekarang dapat menyelesaikan ini.

Alecos Papadopoulos
sumber
Ini tidak terlalu penting tetapi saya pikir Anda harus mendefinisikan LRT sebagai kebalikan dari fraksi yang Anda gunakan, lihat stats.ox.ac.uk/ ~ dlunn/b8_02/b8pdf_8.pdf .
JohnK
Timbal balik digunakan karena membantu dengan manipulasi aljabar. Ketika bagian ini selesai, orang hanya mengambil kekuatan negatif dari luar.
Alecos Papadopoulos
Baik. Untuk menunjukkan fraksi ituX¯Y¯ mengikuti distribusi-F, cukup untuk menuliskannya sebagai 2Xsaya2θ1n12Ysaya2θ1n2, Baik?
JohnK
Jika itu "tautan" yang benar antara gammas dan chi-square, memang.
Alecos Papadopoulos
Iya, 2θ1Xsayaχ2(2n1) Dan kita juga harus membaginya dengan derajat kebebasan, 2n1. Terima kasih banyak.
JohnK
2

Fungsi kemungkinan diberikan sampel x=(x1,...,xn1,y1,...,yn2) diberikan oleh

L(θ1,θ2)=1θ1n1θ2n2exp[1θ1i=1n1xi1θ2i=1n2yi]1x>0,θ1,θ2>0

Kriteria uji LR untuk pengujian H0:θ1=θ2 melawan H1:θ1θ2 berbentuk

λ(x)=supθ1=θ2L(θ1,θ2)supθ1,θ2L(θ1,θ2)=L(θ^,θ^)L(θ^1,θ^2)

dimana θ^ adalah MLE dari θ1=θ2 (dibawah H0), dan θ^i adalah MLE tidak dibatasi dari θi untuk i=1,2.

Mudah diverifikasi itu

(θ^1,θ^2)=(x¯,y¯)

dan

θ^=n1x¯+n2y¯n1+n2

Setelah penyederhanaan, kami mendapatkan simetri ini untuk kriteria LRT:

λ(x)=constant>0(n1x¯n1x¯+n2y¯)n1(n2y¯n1x¯+n2y¯)n2=constanttn1(1t1)n2, where t=n1x¯n1x¯+n2y¯=g(t),say

Mempelajari sifat fungsi g, kita lihat itu

g(t)0tn1n1+n2

Sekarang sejak 2n1X¯/θ1χ2n12 dan 2n2Y¯/θ2χ2n22 didistribusikan secara independen, kami punya

X¯Y¯H0F2n1,2n2

Menetapkan

v=n1x¯n2y¯

, maka

t=vv+1v

Karena itu,

λ(x)<cv<c1 or v>c2

dimana c1,c2 dapat ditemukan dari beberapa batasan ukuran dan fakta bahwa, di bawah H0,

n2n1vF2n1,2n2

StubbornAtom
sumber