Bagaimana seseorang menunjukkan bahwa tidak ada estimator yang tidak bias dari

Misalkan $X_{0},X_{1},\ldots,X_{n}$ adalah variabel acak iid yang mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata $\lambda$ . Bagaimana saya bisa membuktikan bahwa tidak ada penaksir yang tidak bias dari kuantitas $\dfrac{1}{\lambda}$ ?

probability poisson-distribution unbiased-estimator estimators iid billlee1231
sumber

Saya kira maksud Anda, "lambda?" Bagaimanapun, ini tidak sesuai untuk MO.

Apakah ini untuk beberapa subjek? Sepertinya latihan buku teks yang cukup standar. Silakan periksa self-studytag, dan info wiki tag -nya dan tambahkan tag (atau berikan indikasi bagaimana lagi pertanyaan seperti itu muncul). Perhatikan bahwa pertanyaan-pertanyaan semacam itu, meskipun disambut baik, menempatkan beberapa persyaratan pada Anda (dan pembatasan pada kami). Apa yang sudah kamu coba?

Glen_b -Reinstate Monica

Anda harus dapat menggunakan argumen serupa dengan yang ada di sini .

Glen_b -Reinstate Monica

Jawaban:

Asumsikan bahwa adalah estimator berisi dari , yaitu, $g(X_0, \ldots, X_n)$ $1/\lambda$ Kemudian dikalikan dengan dan memanggil seri MacLaurin dari kita dapat menulis persamaan dengan

\sum_{(x_{0}, ..., x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} g (x_{0}, ..., x_{n}) \frac{λ^{\sum_{saya = 0}^{n} x_{saya}}}{\prod_{saya = 0}^{n} x_{saya}!} e^{- (n + 1) λ} = \frac{1}{λ}, \forall λ > 0.

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} g(x_0, \ldots, x_n) \frac{\lambda^{\sum_{i=0}^n x_i}}{\prod_{i=0}^n x_i!} e^{-(n + 1) \lambda} = \frac{1}{\lambda}, \quad \forall \lambda > 0.$

λ e^{(n + 1) λ}

$\lambda e^{(n + 1) \lambda}$

e^{(n + 1) λ}

$e^{(n + 1) \lambda}$

mana kita memiliki persamaan dua seri kekuatan yang satu memiliki istilah konstan (sisi kanan) dan yang lainnya tidak: kontradiksi. Jadi tidak ada estimator yang tidak bias.

\sum_{(x_{0}, ..., x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} \frac{g (x_{0}, ..., x_{n})}{\prod_{saya = 0}^{n} x_{saya}!} λ^{1 + \sum_{saya = 0}^{n} x_{saya}} = 1 + (n + 1) λ + \frac{(n + 1)^{2} λ^{2}}{2} + ..., \forall λ > 0,

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} \frac{g(x_0, \ldots, x_n)}{\prod_{i=0}^n x_i!} \lambda^{1 + \sum_{i=0}^n x_i} = 1 + (n + 1)\lambda + \frac{(n + 1)^2 \lambda^2}{2} + \ldots , \quad \forall \lambda > 0,$

J. Virta
sumber