Statistik bukan matematika?

Apakah statistik matematika atau tidak?

Mengingat itu semua angka, sebagian besar diajarkan oleh departemen matematika dan Anda mendapatkan kredit matematika untuk itu, saya bertanya-tanya apakah orang-orang hanya bersungguh-sungguh bercanda ketika mereka mengatakannya, seperti mengatakan itu adalah bagian kecil dari matematika, atau hanya matematika terapan.

Saya ingin tahu apakah sesuatu seperti statistik, di mana Anda tidak dapat membangun semuanya berdasarkan aksioma dasar dapat dianggap sebagai matematika. Sebagai contoh, nilai- , yang merupakan konsep yang muncul untuk membuat data masuk akal, tetapi itu bukan konsekuensi logis dari prinsip-prinsip yang lebih mendasar.$p$

Matematika berurusan dengan abstraksi ideal yang (hampir selalu) memiliki solusi absolut, atau fakta bahwa tidak ada solusi seperti itu secara umum dapat dijelaskan sepenuhnya. Ini adalah ilmu menemukan konsekuensi yang kompleks tetapi perlu dari aksioma sederhana.

Statistik menggunakan matematika, tetapi itu bukan matematika. Ini tebakan yang terpelajar. Ini judi.

Statistik tidak berurusan dengan abstraksi yang diidealkan (meskipun ia menggunakan beberapa sebagai alat), ia berurusan dengan fenomena dunia nyata. Alat statistik sering membuat asumsi yang disederhanakan untuk mengurangi data dunia nyata yang berantakan menjadi sesuatu yang cocok dengan domain masalah dari abstraksi matematika yang terpecahkan. Ini memungkinkan kita untuk membuat tebakan yang terpelajar, tetapi itu benar-benar hanya statistik: seni membuat tebakan yang sangat tepat.

Pertimbangkan pengujian hipotesis dengan nilai-p. Katakanlah kita sedang menguji beberapa hipotesis dengan signifikansi , dan setelah mengumpulkan data kita menemukan nilai-p 0,001 . Jadi kami menolak hipotesis nol yang mendukung hipotesis alternatif.$\alpha = 0.01$$0.001$

Tapi apa sebenarnya nilai p ini? Apa maknanya? Statistik uji kami dikembangkan sedemikian rupa sehingga sesuai dengan distribusi tertentu, mungkin t siswa. Di bawah hipotesis nol, persentil statistik uji pengamatan kami adalah nilai-p. Dengan kata lain, nilai-p memberikan probabilitas bahwa kita akan mendapatkan nilai sejauh yang diharapkan dari distribusi (atau lebih jauh) seperti statistik uji yang diamati. Tingkat signifikansi adalah batas aturan yang cukup sewenang-wenang: menetapkannya ke sama dengan mengatakan, "dapat diterima jika 1 dari 100 pengulangan percobaan ini menunjukkan bahwa kami menolak nol, bahkan jika nol sebenarnya benar. "$0.01$

Nilai-p memberi kita probabilitas bahwa kita mengamati data yang ada mengingat bahwa nol itu benar (atau lebih tepatnya, mendapatkan sedikit lebih teknis, bahwa kita mengamati data di bawah hipotesis nol yang memberi kita setidaknya nilai ekstrem dari nilai menguji statistik seperti yang kami temukan). Jika kita akan menolak nol, maka kita ingin probabilitas ini menjadi kecil, mendekati nol. Dalam contoh khusus kami, kami menemukan bahwa probabilitas mengamati data yang kami kumpulkan jika hipotesis nol benar hanya , jadi kami menolak nol. Ini adalah tebakan yang terpelajar. Kami tidak pernah benar - benar tahu pasti bahwa hipotesis nol salah dengan menggunakan metode ini, kami hanya mengembangkan pengukuran untuk seberapa kuat bukti kami mendukung alternatif.$0.1\%$

Apakah kita menggunakan matematika untuk menghitung nilai p? Yakin. Tapi matematika tidak memberi kita kesimpulan. Berdasarkan bukti, kami membentuk opini yang berpendidikan, tapi itu masih taruhan. Kami telah menemukan alat-alat ini sangat efektif selama 100 tahun terakhir, tetapi orang-orang di masa depan mungkin bertanya-tanya dengan ngeri pada rapuhnya metode kami.

Lidah tegas di pipi:

Einstein rupanya menulis

Sejauh hukum matematika merujuk pada kenyataan, mereka tidak pasti; dan sejauh yang mereka yakini, mereka tidak merujuk pada kenyataan.

jadi statistik adalah cabang matematika yang menggambarkan realitas. ;Hai)

Saya akan mengatakan statistik adalah cabang matematika dengan cara yang sama bahwa logika adalah cabang matematika. Ini tentu saja mencakup unsur filsafat, tetapi saya tidak berpikir itu adalah satu-satunya cabang matematika di mana itu terjadi (lihat misalnya Morris Kline, "Matematika - Hilangnya Kepastian", Oxford University Press, 1980).

Nah jika Anda mengatakan bahwa " sesuatu seperti statistik, di mana Anda tidak dapat membangun semuanya berdasarkan aksioma dasar " maka Anda mungkin harus membaca tentang teori aksiomatik Kolmogorov tentang probabilitas. Kolmogorov mendefinisikan probabilitas secara abstrak dan aksiomatis seperti yang Anda lihat dalam pdf ini di halaman 42 atau di sini di bagian bawah halaman 1 dan halaman berikutnya .

Hanya untuk memberi Anda rasa definisi abstraknya, ia mendefinisikan variabel acak sebagai fungsi 'terukur' seperti yang dijelaskan dalam cara yang lebih 'intuitif' di sini: Jika variabel acak adalah fungsi, maka bagaimana kita mendefinisikan fungsi dari variabel acak

Dengan jumlah aksioma yang sangat terbatas dan menggunakan hasil dari teori ukuran (sekali lagi matematika) ia dapat mendefinisikan konsep adalah variabel acak, distribusi, probabilitas bersyarat, ... dengan cara abstrak dan mendapatkan semua hasil yang terkenal seperti hukum angka besar, ... dari set aksioma ini. Saya menyarankan Anda untuk mencobanya dan Anda akan terkejut tentang keindahan matematika itu.

Untuk penjelasan tentang nilai-p saya mengacu pada: Kesalahpahaman nilai-P?

Saya tidak punya dasar filosofis atau keras untuk menjawab ini, tetapi saya sering mendengar keluhan "statistik bukan matematika" dari orang-orang, biasanya tipe fisika. Saya pikir orang ingin jaminan kepastian dari matematika mereka, dan statistik (biasanya) hanya menawarkan kesimpulan probabilistik dengan nilai p terkait. Sebenarnya, inilah tepatnya yang saya sukai dari statistik. Kita hidup di dunia yang pada dasarnya tidak pasti, dan kita melakukan yang terbaik untuk memahaminya. Dan kami melakukan pekerjaan dengan baik, semua hal dipertimbangkan.

Mungkin itu karena saya seorang pemarah dan belum mengambil kursus matematika tingkat lanjut, tetapi saya tidak melihat mengapa statistik bukan matematika. Argumen di sini dan pada pertanyaan duplikat tampaknya memperdebatkan dua poin utama mengapa statistik bukan matematika ^* .

1. Itu tidak pasti / pasti, dan karena itu bergantung pada asumsi.
2. Ini berlaku matematika untuk masalah dan kapan pun Anda menerapkan matematika itu tidak lagi matematika.

Tidak tepat dan menggunakan asumsi

Asumsi / perkiraan berguna untuk banyak matematika.

Sifat-sifat segitiga yang saya pelajari di sekolah dasar saya percaya dianggap matematika benar, meskipun mereka tidak berlaku dalam geometri non-Elucidean. Jadi dengan jelas pengakuan batas, atau menyatakan cara lain "dengan asumsi XYZ berikut ini valid", ke cabang matematika tidak mendiskualifikasi cabang dari menjadi matematika "benar".

Kalkulus saya yakin akan dianggap sebagai bentuk murni matematika, tetapi batasan adalah alat inti yang kami bangun. Kita dapat terus menghitung hingga batas, sama seperti kita dapat terus membuat ukuran sampel lebih besar, tetapi tidak ada yang memberikan wawasan lebih dari melewati batas tertentu.

Setelah Anda menerapkan matematika itu bukan matematika

Kontradiksi yang jelas di sini adalah kita menggunakan matematika untuk membuktikan teorema matematika, dan tidak ada yang berpendapat bahwa membuktikan teorema matematika bukanlah matematika.

Pernyataan berikutnya mungkin itu thing xbukan matematika jika Anda menggunakan matematika untuk mendapatkan hasil. Itu juga tidak masuk akal.

Pernyataan yang akan saya setujui adalah bahwa ketika Anda menggunakan hasil perhitungan untuk membuat keputusan maka keputusan itu bukan matematika . Itu tidak berarti bahwa analisis yang mengarah pada keputusan bukanlah matematika .

Saya pikir ketika kita menggunakan analisis statistik semua matematika yang dilakukan adalah matematika nyata. Hanya sekali kita menyerahkan hasilnya kepada seseorang untuk interpretasi apakah statistik keluar dari matematika. Dengan demikian statistik dan ahli statistik melakukan matematika sungguhan dan juga ahli matematika sungguhan. Ini adalah interpretasi yang dilakukan oleh bisnis dan / atau terjemahan hasil ke bisnis oleh ahli statistik yang bukan matematika.

Dari komentar:

whuber berkata:

Jika Anda mengganti "statistik" dengan "kimia," "ekonomi," "teknik," atau bidang lain apa pun yang menggunakan matematika (seperti ekonomi rumah), tampaknya tidak ada argumen Anda yang akan berubah.

Saya pikir perbedaan utama antara "kimia", "teknik", dan "menyeimbangkan buku cek saya" adalah bahwa bidang-bidang itu hanya menggunakan konsep matematika yang ada . Ini adalah pemahaman saya bahwa ahli statistik seperti Guass memperluas tubuh konsep matematika. Saya percaya ^{(ini mungkin salah secara terang-terangan)} bahwa untuk mendapatkan gelar PhD dalam statistik Anda harus berkontribusi, dalam beberapa cara, untuk memperluas tubuh konsep matematika. Kandidat PhD Kimia / Teknik tidak memiliki persyaratan untuk pengetahuan saya.

Perbedaan bahwa statistik berkontribusi pada tubuh konsep matematika adalah apa yang membedakannya dari bidang lain yang hanya menggunakan konsep matematika .

*: Pengecualian yang penting adalah jawaban ini yang secara efektif menyatakan batas-batas adalah buatan karena berbagai alasan sosial. Saya pikir itu adalah satu-satunya jawaban yang benar, tetapi di mana kesenangannya? ;)

Tes statistik, model, dan alat inferensi dirumuskan dalam bahasa matematika, dan ahli statistik telah membuktikan secara matematis buku tebal dari hasil yang sangat penting dan menarik tentang mereka. Dalam banyak kasus, bukti memberikan bukti kuat bahwa alat statistik yang dimaksud dapat diandalkan dan / atau kuat.

Statistik dan komunitasnya mungkin tidak "murni" cukup bagi matematikawan dengan selera tertentu, tetapi pasti diinvestasikan dalam matematika dengan sangat mendalam, dan statistik teoretis adalah cabang matematika sebanyak fisika teoretis atau ilmu komputer teoretis.

"Perbedaan" bergantung pada: Penalaran induktif vs Penalaran deduktif vs Inferensi. Misalnya, tidak ada teorema matematika yang dapat menentukan distribusi atau sebelum apa yang dapat Anda gunakan untuk data / model Anda.

Omong-omong, statistik Bayesian adalah area yang dixiomatisasikan.

Ini mungkin pendapat yang sangat tidak populer, tetapi mengingat sejarah dan perumusan konsep statistik (dan teori probabilitas), saya menganggap statistik sebagai cabang dari fisika .

Memang, Gauss awalnya memformalkan model regresi kuadrat terkecil dalam prediksi astronomi. Mayoritas kontribusi untuk statistik sebelum Fisher berasal dari Fisikawan (atau ahli matematika yang sangat aplikatif yang karyanya disebut Fisika menurut standar sekarang): Lyapunov, De Moivre, Gauss, dan satu atau lebih Bernoullis.

Prinsip menyeluruh adalah karakterisasi kesalahan dan keacakan yang tampaknya disebarkan dari jumlah tak terbatas dari sumber variasi yang tidak terukur. Ketika eksperimen menjadi lebih sulit untuk dikendalikan, kesalahan eksperimental perlu dideskripsikan secara formal dan dipertanggungjawabkan untuk mengkalibrasi dominan bukti eksperimental terhadap model matematika yang diusulkan. Kemudian, seperti fisika partikel menyelidiki kuantum , memformalkan partikel sebagai distribusi acak memberikan bahasa yang jauh lebih ringkas untuk menggambarkan keacakan yang tampaknya tidak terkendali dengan foton dan elektron.

Sifat-sifat penduga seperti rata-rata (pusat massa) dan standar deviasi (penyimpangan momen kedua) sangat intuitif bagi fisikawan. Mayoritas teorema limit dapat dihubungkan secara longgar dengan hukum Murphy, yaitu bahwa distribusi normal yang membatasi adalah entropi maksimum.

Jadi statistik adalah cabang dari fisika.