Saya ingin menunjukkan

Mari $X:\Omega \to \mathbb N$ menjadi variabel acak pada probabilitas ruang $(\Omega,\mathcal B,P)$ .show bahwa

$$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$$

definisi saya dari $E(X)$ sama dengan

$$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$$

Terima kasih.

Definisi $E(X)$ untuk diskrit $X$ adalah $E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$ .

$$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$$

Begitu

$$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$$

(Kami rearange istilah dalam ekspresi terakhir)

$$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$$

qed

$$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$$

Saya pikir cara standar untuk melakukan ini adalah dengan menulis

$$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$$

$$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$$

dan kemudian membalikkan urutan harapan dan jumlah (oleh teorema Tonelli)

$X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$

$$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$$

Mengambil kemudian memberikan hasil yang bermanfaat:$m \rightarrow \infty$

$$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$$

Perlu dicatat bahwa hasil ini lebih kuat dari aturan ekspektasi dalam pertanyaan, karena memberikan dekomposisi untuk variabel acak yang mendasarinya, dan bukan hanya momennya. Seperti disebutkan dalam jawaban lain, dengan mengambil ekspektasi dari kedua sisi persamaan ini, dan menerapkan teorema Tonelli (untuk menukar urutan penjumlahan dan operator ekspektasi), memberikan aturan ekspektasi dalam pertanyaan. Ini adalah aturan ekspektasi standar yang digunakan ketika berhadapan dengan variabel acak non-negatif.

---

Hasil di atas dapat dibuktikan secara sederhana. Mulailah dengan mengamati bahwa:

$$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$$

Karenanya untuk setiap kita memiliki:$m \in \mathbb{N}$

$$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$$