Saya berada di kelas statistik pengantar di mana fungsi kerapatan probabilitas untuk variabel acak kontinu telah didefinisikan sebagai . Saya mengerti bahwa integral tapi saya tidak bisa memperbaikinya dengan intuisi saya tentang variabel acak kontinu. Say X adalah variabel acak yang sama dengan jumlah menit dari waktu t saat kereta tiba. Bagaimana saya menghitung probabilitas bahwa kereta tiba tepat 5 menit dari sekarang? Bagaimana probabilitas ini menjadi nol? Apakah itu tidak mungkin? Bagaimana jika kereta tidak tiba tepat 5 menit dari sekarang, bagaimana hal itu bisa terjadi jika itu probabilitas 0?a ∫ a f ( x ) d x = 0
Terima kasih.
probability
random-variable
pdf
continuous-data
geofflittle
sumber
sumber
Jawaban:
Anda mungkin jatuh ke dalam perangkap tentang 'lima menit dari sekarang' sebagai berlangsung selama periode waktu yang terbatas (yang akan memiliki probabilitas nol).
"Lima menit dari sekarang" dalam arti variabel kontinu benar-benar instan.
Bayangkan bahwa kedatangan kereta berikutnya didistribusikan secara seragam antara jam 8:00 dan 8:15. Bayangkan lebih jauh kita mendefinisikan kedatangan kereta sebagai terjadi pada saat instan bagian depan kereta melewati titik tertentu di stasiun (mungkin titik tengah platform jika tidak ada tengara yang lebih baik). Pertimbangkan urutan probabilitas berikut:
a) probabilitas kereta tiba antara 8:05 dan 8:10
b) probabilitas kereta tiba antara 8:05 dan 8:06
c) probabilitas kereta tiba antara 8:05:00 dan 8:05:01
d) probabilitas kereta tiba antara 8:05:00 dan 8: 05: 00,01 (yaitu dalam jarak seperseratus detik)
e) probabilitas kereta tiba antara 8:05 dan sepersejuta detik kemudian
f) probabilitas kereta tiba antara 8:05 dan seperempat miliar detik kemudian
... dan seterusnya
Probabilitas bahwa ia tiba tepat pada pukul 8:05 adalah nilai pembatas dari serangkaian probabilitas seperti itu. Probabilitasnya lebih kecil dari setiap .ϵ>0
sumber
Pernyataan probabilistik bukanlah pernyataan tentang kemungkinan / kelayakan suatu peristiwa. Ini hanya mencerminkan upaya kami untuk mengukur ketidakpastian kami tentang hal itu terjadi. Jadi, ketika suatu fenomena berkelanjutan (atau dimodelkan sebagai satu), maka alat dan keadaan pengetahuan kita saat ini tidak memungkinkan kita untuk membuat pernyataan probabilistik tentang hal itu mengambil nilai tertentu . Kami hanya dapat membuat pernyataan seperti itu terkait dengan suatu rentangnilai-nilai. Tentu saja trik yang biasa dilakukan di sini adalah untuk mendiskritisasi dukungan, untuk mempertimbangkan interval nilai "kecil" daripada nilai tunggal. Karena variabel acak kontinu membawa manfaat dan fleksibilitas besar dibandingkan dengan variabel acak diskrit, ini dianggap sebagai harga yang agak kecil untuk dibayar, mungkin sekecil interval yang terpaksa kami pertimbangkan.
sumber
Untuk memberi Anda beberapa intuisi untuk hal di atas, cobalah eksperimen (pemikiran) berikut:
Gambarlah garis nyata di sekitar nol dengan penggaris. Sekarang ambil panah tajam dan biarkan jatuh dari atas secara acak pada garis (mari kita asumsikan Anda akan selalu mengenai garis dan hanya penentuan posisi lateral yang penting demi argumen).
Namun berkali-kali Anda membiarkan anak panah jatuh secara acak di telepon, Anda tidak akan pernah mencapai titik nol. Mengapa? Pikirkan apa itu titik nol, pikirkan apa lebarnya. Dan setelah Anda mengetahui bahwa lebarnya adalah 0, apakah Anda masih berpikir Anda dapat memukulnya?
Apakah Anda dapat mencapai titik 1, atau -2? Atau hal lain yang Anda pilih pada masalah itu?
Untuk kembali ke matematika, ini adalah perbedaan antara dunia fisik, dan konsep matematika seperti bilangan real (diwakili oleh garis nyata dalam contoh saya). Teori probabilitas memiliki definisi probabilitas yang sedikit lebih rumit daripada yang akan Anda lihat dalam kuliah Anda. Untuk mengukur probabilitas kejadian dan kombinasi dari hasilnya, Anda memerlukan ukuran probabilitas. Baik ukuran Borel dan ukuran Lebesgue didefinisikan untuk interval [a, b] pada garis nyata sebagai: dari definisi ini Anda dapat melihat apa yang terjadi dengan probabilitas jika Anda mengurangi interval ke nomor (pengaturan a = b).
Intinya adalah bahwa berdasarkan definisi kita saat ini tentang teori probabilitas (dating kembali ke Kolmogorov) fakta bahwa suatu peristiwa memiliki 0 probabilitas tidak berarti itu tidak dapat terjadi.
Dan sejauh contoh Anda dengan kereta pergi, jika Anda akan memiliki arloji yang sangat akurat, kereta Anda tidak akan pernah tiba tepat waktu.
sumber
Distribusi probabilitas harus memiliki area persatuan. Jika ukurannya kontinu maka ada nilai tak terhingga yang dapat diambilnya (yaitu nilai tak terhingga sepanjang sumbu x distribusi). Satu-satunya cara agar total area dari distribusi probabilitas dapat terbatas adalah untuk nilai di masing-masing jumlah tak terhingga nilai menjadi nol. Satu dibagi dengan tak terhingga.
Dalam 'kehidupan nyata' tidak ada langkah-langkah yang mengambil jumlah nilai yang tak terbatas (oleh beberapa argumen filosofis berbeda yang tidak terlalu penting di sini) sehingga tidak ada nilai yang perlu mengambil probabilitas tepat nol. Argumen praktis yang bermanfaat didasarkan pada ketepatan yang terbatas dari pengukuran dunia nyata. Jika Anda menggunakan stopwatch yang mengukur sepersepuluh detik, kereta akan memiliki sepersepuluh detik untuk tiba dalam 'tepat' lima menit.
sumber
Orang lain telah menjawab mengapa probabilitasnya nol (jika Anda memperkirakan waktu sebagai kontinu, yang sebenarnya tidak , tapi tetap ...) jadi saya hanya akan mengulanginya sebentar. Untuk menjawab pertanyaan terakhir yang ditanyakan OP --- "bagaimana itu bisa terjadi jika memiliki probabilitas 0?" --- banyak dan banyak hal dapat terjadi jika mereka memiliki probabilitas nol. Semua himpunan probabilitas nol berarti bahwa, dalam ruang hal-hal yang mungkin terjadi, himpunan memakan ruang. Itu semuanya. Ini tidak lebih berarti dari ini.A A
Saya menulis ini untuk mudah-mudahan membahas sesuatu yang lain yang dikatakan OP dalam komentar:
Ini adalah pertanyaan yang sangat bagus dan itu, ketika saya mulai belajar tentang probabilitas, saya berjuang. Inilah jawabannya: tidak setara dengan pertanyaan yang awalnya Anda tanyakan! Apa yang telah Anda lakukan adalah membawa waktu ke dalam analisis, dan itu berarti bahwa struktur probabilitas yang mendasarinya berubah menjadi jauh lebih rumit. Inilah yang perlu Anda ketahui. Ruang probabilitas terdiri dari tiga hal: ruang yang mendasari , seperti atau ; satu set semua hasil yang mungkin pada ruang ini, seperti set semua interval setengah terbuka di , dan ukuran yang memenuhi(Ω,A,μ) Ω R Z R μ μ(Ω)=1 . Masalah asli Anda tinggal di ruang
mana
adalah ukuran Lebesgue (ini berarti bahwa ). Dalam ruang ini, probabilitas bahwa Anda menekan titik tunggal adalah nol untuk alasan yang dibahas di atas --- Saya pikir kita sudah membersihkannya. Tetapi sekarang, ketika Anda mengatakan hal-hal seperti kutipan di atas, Anda mendefinisikan sesuatu yang disebut filtrasi , yang akan kami tulis sebagai . Filtrasi secara umum adalah kumpulan himpunan bagian yang memenuhi untuk semua([a,b],all half open intervals on [a,b],ν) ν ν([c,d))=1d−c x∈[a,b] F={Ft}t≥0 A Ft⊆Fs t<s . Dalam kasus Anda, kami dapat mendefinisikan filtrasi
Sekarang, di bagian baru dari ruang hasil Anda, coba tebak --- Anda benar! Anda telah memukulnya dan, setelah lemparan pertama Anda, peluang Anda untuk mencapai titik itu ketika dibatasi untuk filtrasi adalah 1.Ft={x∈[a,b]:dart hit x at time t′<t}. F1
sumber