Jumlah dua produk normal adalah Laplace?

Tampaknya demikian halnya jika , maka$X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

Saya telah melihat makalah tentang bentuk kuadratik sewenang-wenang, yang selalu menghasilkan ekspresi chi-kuadrat non-sentral yang mengerikan.

Hubungan sederhana di atas sama sekali tidak tampak jelas bagi saya, jadi (jika itu benar!) Adakah yang punya bukti sederhana di atas?

Urutan langkah-langkah dasar menggunakan hubungan-hubungan yang terkenal di antara distribusi dan identitas polarisasi aljabar yang sederhana memberikan demonstrasi yang mendasar dan intuitif.

Saya telah menemukan identitas polarisasi ini umumnya berguna untuk alasan tentang, dan komputasi dengan, produk dari variabel acak, karena mengurangi mereka ke kombinasi linear dari kotak. Ini seperti bekerja dengan matriks dengan mendiagonalkannya terlebih dahulu. (Ada lebih dari koneksi dangkal di sini.)

Distribusi Laplace adalah perbedaan dari dua Eksponensial (yang secara intuitif masuk akal, karena Eksponensial adalah distribusi "setengah-Laplace"). (Tautan menunjukkan ini dengan memanipulasi fungsi karakteristik, tetapi hubungannya dapat dibuktikan menggunakan integrasi elementer mengikuti definisi perbedaan sebagai konvolusi.)

Distribusi eksponensial (yang itu sendiri adalah distribusi ) juga merupakan distribusi (versi yang diskalakan) χ 2 ( 2 ) distribusi. Faktor skala adalah 1 / 2 . Ini dapat dengan mudah dilihat dengan membandingkan PDF dari dua distribusi.$\Gamma(1)$$\chi^2(2)$$1/2$

distribusi$\chi^2$diperoleh secara alami sebagai jumlah kuadrat dari distribusi normal iid (memiliki nol artinya). Derajat kebebasan,, menghitung jumlah distribusi Normal dalam jumlah.$2$

Hubungan aljabar

$X_1X_2 + X_3X_4$$(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$$\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

$X_1X_2+X_3X_4$

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$