Mengapa Teorema Bayes bekerja secara grafis?

Dari sudut pandang matematika Teorema Bayes sangat masuk akal bagi saya (yaitu, menurunkan dan membuktikan), tetapi yang saya tidak tahu adalah apakah ada argumen geometris atau grafis yang bagus yang dapat ditunjukkan untuk menjelaskan Teorema Bayes. Saya mencoba mencari di Google untuk jawaban ini dan mengejutkan saya tidak dapat menemukan apa pun di dalamnya.

Pada dasarnya hanya menggambar diagram Venn dari dua lingkaran yang tumpang tindih yang seharusnya mewakili set acara. Sebut mereka A dan B. Sekarang persimpangan keduanya adalah P (A, B) yang dapat dibaca probabilitas A DAN B. Dengan aturan dasar probabilitas, P (A, B) = P (A | B) P (B). Dan karena tidak ada yang istimewa tentang A versus B, itu juga harus P (B | A) P (A). Menyamakan keduanya memberi Anda Bayes Theorem.

Teorema Bayes sebenarnya sangat sederhana. Statistik Bayesian lebih sulit karena dua alasan. Salah satunya adalah bahwa dibutuhkan sedikit abstraksi untuk beralih dari berbicara tentang peran dadu acak dengan probabilitas bahwa beberapa fakta adalah Benar. Ini mengharuskan Anda untuk memiliki sebelum dan ini sebelumnya efek probabilitas posterior yang Anda dapatkan pada akhirnya. Dan ketika Anda harus meminggirkan banyak parameter di sepanjang jalan, akan lebih sulit untuk melihat secara tepat bagaimana pengaruhnya.

Beberapa menemukan bahwa ini sepertinya melingkar. Tapi sungguh, tidak ada cara untuk mengelilinginya. Data yang dianalisis dengan model tidak mengarahkan Anda langsung ke Kebenaran. Tidak ada yang bisa. Ini hanya memungkinkan Anda untuk memperbarui keyakinan Anda secara konsisten.

Hal sulit lainnya tentang statistik Bayesian adalah bahwa perhitungannya menjadi sangat sulit kecuali untuk masalah sederhana dan inilah mengapa semua matematika dimasukkan untuk mengatasinya. Kita perlu memanfaatkan setiap simetri yang kita bisa untuk membuat perhitungan lebih mudah atau resor simulasi Monte Carlo.

Jadi statistik Bayesian sulit tetapi teorema Bayes benar-benar tidak sulit sama sekali. Jangan terlalu memikirkannya! Ini mengikuti langsung dari fakta bahwa operator "DAN", dalam konteks probabilistik, simetris. A AND B sama dengan B AND A dan semua orang tampaknya memahami itu secara intuitif.

Argumen fisik untuk menjelaskannya sangat jelas digambarkan oleh Galton dalam quincunx dua tahap pada akhir 1800-an.

Lihat gambar 5 di Stigler, Stephen M. 2010. Darwin, Galton dan pencerahan statistik. Jurnal Masyarakat Statistik Kerajaan: Seri A 173 (3): 469-482.

Saya memiliki animasi yang belum sempurna di sini (memerlukan dukungan pdf yang memadai untuk menjalankannya).

Saya juga mengubahnya menjadi sebuah alegori tentang jeruk jatuh di kepala Galton yang akan saya coba unggah di masa depan.

Atau mungkin Anda lebih suka gambar penolakan ABC di sini .

Latihan berdasarkan itu ada di sini .

Artikel 10 Januari 2020 ini tentang Medium menjelaskan hanya dengan satu gambar! Anggap itu

• $1/1000$
• Tes mengidentifikasi penyakit dengan akurasi 99%.

$\color{green}{99}$$\color{red}{1}$$\color{#e68a00}{999}$

$1$$\color{green}{99}$$\color{green}{99}+\color{#e68a00}{999}$$\dfrac{\color{green}{99}}{\color{green}{99}+\color{#e68a00}{999}} = 0.0901$