Kapan fungsi distribusi binomial di atas / di bawah fungsi distribusi Poisson yang membatasi?

30

Misalkan menunjukkan fungsi distribusi binomial (DF) dengan parameter n N dan p ( 0 , 1 ) dievaluasi pada r { 0 , 1 , , n } : B ( n , p , r ) = r i = 0 ( nB(n,p,r)nNp(0,1)r{0,1,,n} dan biarkanF(ν,r)menunjukkan Poisson DF dengan parameteraR+dievaluasi padar{0,1,2,...}: F(a,r)=e-ar i=0ai

B(n,p,r)=i=0r(ni)pi(1p)ni,
F(ν,r)aR+r{0,1,2,}
F(a,r)=eai=0raii!.

Pertimbangkan , dan biarkan n didefinisikan sebagai a / p - d , di mana d adalah konstanta dari urutan 1 . Karena n p a , fungsi B ( n , p , r ) konvergen ke F ( a , r ) untuk semua rp0na/pdd1npaB(n,p,r)F(a,r)r , seperti diketahui.

Dengan definisi di atas untuk , saya tertarik untuk menentukan nilai-nilai a yang B ( n , p , r ) > F ( a , r )na dan sama seperti yang B ( n , p , r ) < F ( a , r )

B(n,p,r)>F(a,r)p(0,1),
Saya telah dapat membuktikan bahwa ketidaksetaraan pertama berlaku untuk yang lebih kecil dari r ; lebih khusus, untuk yang lebih rendah dari batas tertentu g ( r ) , dengan g ( r ) > r
B(n,p,r)<F(a,r)p(0,1).
arag(r) . Demikian pula, ketidaksetaraan kedua berlaku untuk sebuah cukup besar dari r , yaitu untuk suatu lebih besar dari batas tertentu h ( r ) , dengan h ( rg(r)<rarah(r)h(r)>r . (Ekspresi dari batas-batas dan h ( r ) tidak relevan di sini. Saya akan memberikan rincian kepada siapa pun tertarik.) Namun, hasil numerik menunjukkan bahwa mereka kesenjangan tahan selama batas kurang ketat, yaitu, untuk sebuah lebih dekat dengan rg(r)h(r)ar daripada yang bisa saya buktikan.

Jadi, saya ingin tahu apakah ada beberapa teorema atau hasil yang menetapkan di mana kondisi masing-masing berlaku ketidaksetaraan (untuk semua p ); yaitu ketika DF binomial dijamin berada di atas / di bawah Poisson DF pembatasnya. Jika teorema semacam itu tidak ada, ide atau petunjuk apa pun di arah yang benar akan dihargai.

Harap perhatikan bahwa pertanyaan serupa, yang dirumuskan dalam hal fungsi beta dan gamma yang tidak lengkap, telah diposting di math.stackexchange.com tetapi tidak mendapat jawaban.

Luis Mendo
sumber
6
Ini adalah pertanyaan yang menarik, meskipun saya pikir akan membantu untuk memperjelas beberapa hal, terutama yang merupakan "bagian yang bergerak" dan mana yang tidak. Tampaknya Anda menginginkan ikatan yang memegang seragam dalam untuk setiap r tetap . Tapi, apa peran dp rd sini? Seharusnya tidak terlalu penting, tetapi apakah itu perkenalan diperlukan? Salah satu pendekatan mungkin untuk melihat hal-hal dalam hal waktu tunggu dari proses Poisson dan memasangkannya dengan waktu tunggu geometris terkait (dengan mengambil plafon masing-masing) untuk variabel acak binomial Anda. Tapi itu mungkin tidak menghasilkan seragam seragam yang kamu cari.
kardinal
1
@ kardinal Terima kasih telah meluangkan waktu. Ya, saya ingin agar seragam dalam hal. Semua parameter lain sudah diperbaiki (tetapi dapat dipilih). hanyalah salah satu parameter gratis tersebut. Sebagai contoh, satu hasil hipotesis dapat sebagai berikut: "Untuk setiap r alami lebih besar dari 2 dan setiap d ( - 1dr2 , ketidaksetaraan pertama berlaku untuk semua a < r - d(1,1) dan untuk semuap(0a<rr ; dan yang kedua berlaku untuk semua a > r + p(0,1) dan untuk semuap(0,1)a>r+rp(0,1) .
Luis Mendo
1
Ada teori stein chen yang memperkirakan kesalahan ketika Anda menggunakan poisson rv untuk memperkirakan jumlah variabel bernoulli independen yang tidak perlu. Tidak yakin tentang pertanyaan Anda, ya.
Hilang1
Untuk terbatas , distribusi Binomial telah menutup dukungan dari atas. Ukurannya bisa dipilih (dengan memilih n ) tetapi ditutup. Di sisi lain, distribusi Poisson memiliki dukungan tanpa batas. Karena kita melihat CDF, untuk setiap n terbatas kita akan selalu memiliki B ( n , pnnn untuk nilai p , a . Jadi kondisi untuk ketidaksetaraan ke-2 setelah OP, akan selalu mencakup, setidaknya, "untuk r
B(n,p,r=n)=1>F(a,n)
p,ar<n... "
Alecos Papadopoulos
Lihat jawaban Did di sini: math.stackexchange.com/questions/37018/…
Alex R.

Jawaban:

1

Berkenaan dengan hal berikut:

  • mean dari dist Binomial adalah np

  • varians adalah np(1p)

  • rata-rata dari Poisson dist adalah , yang dapat kita bayangkan sebagai n × pλn×p

  • varians dari Poisson adalah sama dengan mean

Sekarang, jika Poisson adalah batas untuk Binomial dengan parameter dan p , sehingga n meningkat hingga tak terhingga dan p menurun ke nol sementara produk mereka tetap konstan, maka dengan asumsi bahwa n dan p tidak terkonvergensi ke batas masing-masing, ungkapan n p selalu lebih besar dari n p ( 1 - p )npnpnpnpnp(1p) , karena varians dari Binomial adalah kurang dari Poisson. Itu akan menyiratkan bahwa Binomial berada di bawah di ekor dan di atas di tempat lain.

Germaniawerks
sumber
Terima kasih atas kontribusi anda. Sepertinya saya gagal menjawab pertanyaan, karena (1) OP tertarik pada CDF, bukan PDF. (2) Dia meminta jawaban kuantitatif.
whuber