Menemukan varians dari estimator untuk kemungkinan maksimum untuk distribusi Poisson

Jika yang iid distribusi Poisson dengan parameter β Saya telah bekerja bahwa estimasi maksimum likelihood adalah β ( k 1 , ... , k n ) = $K_1, \dots, K_n$$\beta$untuk datak1,…,kn. Oleh karena itu kita dapat mendefinisikan penduga yang sesuai T=

$$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$$ $k_1, \dots, k_n$ Pertanyaan saya adalah bagaimana Anda menentukan varian penaksir ini? $$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$$

Secara khusus, karena masing-masing mengikuti distribusi Poisson dengan parameter β saya tahu, dari sifat-sifat Poisson, bahwa distribusi Σ n i = 1 K i akan mengikuti distribusi Poisson dengan parameter n β , tapi apa adalah distribusi T ?$K_i$$\beta$$\sum_{i=1}^n K_i$$n \beta$$T$

$T$$n$$T$$1/n^2 \times n\beta$

$$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$$ $X_i$$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$