Saya punya parameter yang terletak di antara . Katakanlah saya dapat menjalankan percobaan dan memperolehnya dimana adalah Gaussian standar. Yang saya butuhkan adalah perkiraanyang 1) tidak bias 2) hampir pasti dibatasi. Persyaratan (2) sangat penting bagi saya.
Pemikiran alami yang harus dilakukan adalah membangun pengaturan estimator baru untuk jika di atas dan untuk jika di bawah . Namun, estimator tidak akan objektif. Jadi apa yang harus aku lakukan?
Secara formal, pertanyaannya adalah apakah ada fungsi seperti yang memenuhi (1) dan (2) di atas. Selain itu, apakah situasinya akan berbeda jika saya mengambil lebih dari satu sampel?
Jawaban:
Saya akan menyajikan kondisi di mana penaksir tidak bias tetap tidak bias, bahkan setelah dibatasi. Tetapi saya tidak yakin apakah itu sesuatu yang menarik atau bermanfaat.
Biarkan estimatorθ^ dari parameter yang tidak diketahui θ dari distribusi yang berkelanjutan, dan E(θ^)=θ .
Asumsikan bahwa untuk beberapa alasan, di bawah pengambilan sampel berulang kami ingin estimator untuk menghasilkan estimasi yang berkisar di[δl,δu] . Kami berasumsi ituθ∈[δl,δu] dan jadi kita bisa menulis kapan intervalnya nyaman [θ−a,θ+b] dengan {a,b} angka positif tetapi tentu saja tidak diketahui.
Maka estimator yang dibatasi adalah
dan nilai yang diharapkan adalah
Tentukan sekarang fungsi indikator
dan perhatikan itu
menggunakan fungsi indikator ini, dan integral, kita dapat menulis nilai yang diharapkan dari estimator terbatas sebagai (f(θ^) adalah fungsi kepadatan θ^ ),
Mengurai batas atas dan bawah, kita miliki
dan menggunakan(1) ,
Sekarang, sejak ituE(θ^)=θ kita punya
Tapi
Karenanya,E[(θ^−θ)Im]=0 dan sebagainya
atau sebagai alternatif
Karena itu dari( 4 ) , kita melihat bahwa untuk estimator yang dibatasi juga tidak bias, kita harus memilikinya
Apa masalahnya dengan kondisi( 5 ) ? Ini melibatkan angka yang tidak diketahui{ a , b } , jadi dalam praktiknya kita tidak akan dapat benar-benar menentukan interval untuk mengikat estimator dan menjaganya tetap tidak bias.
Tetapi katakanlah ini adalah beberapa eksperimen simulasi terkontrol, di mana kami ingin menyelidiki properti penaksir lainnya, mengingat ketidakberpihakan. Lalu kita bisa "menetralisir"Sebuah dan b dengan pengaturan a = b , yang pada dasarnya menciptakan interval simetris di sekitar nilai θ ... Dalam hal ini, untuk mencapai ketidakberpihakan, kita harus memiliki lebih dari itu P(θ^≤δl) = P(θ^>δkamu) , yaitu kita harus memiliki bahwa massa probabilitas estimator yang tidak dibatasi sama dengan kiri dan ke kanan (simetris di sekitarθ ) interval ...
... dan kita belajar bahwa (sebagai kondisi yang memadai), jika distribusi estimator yang tidak dibatasi simetris di sekitar nilai sebenarnya, maka estimator yang dibatasi dalam interval simetris di sekitar nilai sebenarnya juga tidak bias ... tetapi ini adalah hampir sepele terbukti atau intuitif, bukan?
Ini menjadi sedikit lebih menarik, jika kita menyadari bahwa kondisi yang diperlukan dan cukup (diberi interval simetris) a) tidak memerlukan distribusi simetris , hanya massa probabilitas yang sama "di ekor" (dan ini pada gilirannya tidak menyiratkan bahwa distribusi massa di setiap ekor harus identik) dan b) memungkinkan bahwa di dalam interval, kerapatan penduga dapat memiliki bentuk non-simetris yang konsisten dengan menjaga ketidakberpihakan-itu masih akan membuat penduga dibatasi tidak bias.
APLIKASI: Kasus OPθ^=θ+w,w∼N(0,1) dan sebagainya θ^∼N(θ,1) . Lalu, gunakan(4) saat menulis a,b dengan kondisi θ,δ , kita miliki, untuk interval pembatas [0,1] ,
Estimator kami adalah
Distribusinya simetrisθ . Transformasi (Φ() adalah CDF normal standar)
Seseorang dapat memverifikasi bahwa ketentuan tambahan membatalkan hanya jikaθ = 1 / 2 , yaitu, hanya jika interval pembatas juga simetris θ .
sumber