Informasi lebih lanjut tentang topik ini daripada yang mungkin Anda butuhkan dapat ditemukan di Goodman (1962): "Varian Produk K Variabel Acak" , yang memperoleh rumus untuk kedua variabel acak independen dan variabel acak yang berpotensi berkorelasi, bersama dengan beberapa perkiraan. Dalam makalah sebelumnya ( Goodman, 1960 ), rumus untuk produk tepat dua variabel acak diturunkan, yang agak lebih sederhana (meskipun masih cukup rumit), sehingga mungkin tempat yang lebih baik untuk memulai jika Anda ingin memahami derivasi .
Namun, untuk kelengkapan, seperti ini.
Dua variabel
Asumsikan yang berikut:
- x dan adalah dua variabel acaky
- X dan adalah harapan mereka (bukan nol)Y
- V(x) dan adalah varians merekaV(y)
- δx=(x−X)/X (dan juga untuk )δy
- Di,j=E[(δx)i(δy)j]
- Δx=x−X (dan juga untuk )Δy
- Ei,j=E[(Δx)i(Δy)j]
- G(x) adalah koefisien variasi kuadrat: (juga untuk )V(x)/X2G(Y)
Kemudian:
atau yang setara:
V(xy)=(XY)2[G(y)+G(x)+2D1,1+2D1,2+2D2,1+D2,2−D21,1]
V(xy)=X2V(y)+Y2V(x)+2XYE1,1+2XE1,2+2YE2,1+E2,2−E21,1
Lebih dari dua variabel
Makalah 1960 menyarankan bahwa ini merupakan latihan untuk pembaca (yang tampaknya telah memotivasi makalah 1962!).
Notasi serupa, dengan beberapa ekstensi:
- (x1,x2,…xn) menjadi variabel acak alih-alih danxy
- M=E(∏ki=1xi)
- A=(M/∏ki=1Xi)−1
- si = 0, 1, atau 2 untuki=1,2,…k
- u = jumlah 1 dalam(s1,s2,…sk)
- m = jumlah 2 dalam(s1,s2,…sk)
- D(u,m)=2u−2 untuk dan untuk ,m=02um>1
- C(s1,s2,…,sk)=D(u,m)⋅E(∏ki=1δsixi)
- ∑s1⋯sk menunjukkan penjumlahan dari set mana3k−k−1(s1,s2,…sk)2m+u>1
Lalu, akhirnya:
V(∏i=1kxi)=∏X2i(∑s1⋯skC(s1,s2…sk)−A2)
Lihat makalah untuk detail dan perkiraan yang sedikit lebih traktat!
Hanya untuk menambah jawaban Matt Krause yang luar biasa (sebenarnya mudah didapat dari sana). Jika x, y independen maka,
sumber
Selain rumus umum yang diberikan oleh Matt mungkin perlu dicatat bahwa ada rumus yang agak lebih eksplisit untuk nol berarti variabel acak Gaussian. Ini mengikuti dari teorema Isserlis , lihat juga Momen yang lebih tinggi untuk distribusi normal multivariat terpusat.
Misalkan mengikuti distribusi normal multivariat dengan rata-rata 0 dan matriks kovarian . Jika jumlah variabel ganjil, dan mana berarti menjumlahkan semua partisi menjadi pasangan yang terpisah dengan setiap istilah sebagai produk dari 's yang sesuai, dan di mana(x1,…,xk) Σ k E(∏ixi)=0
Pada kenyataannya, dimungkinkan untuk mengimplementasikan formula umum. Bagian yang paling sulit tampaknya adalah perhitungan dari partisi yang diperlukan. Dalam R, ini bisa dilakukan dengan fungsik=8 k=9 k=10
setparts
dari paketpartitions
. Dengan menggunakan paket ini, tidak ada masalah untuk menghasilkan 2.027.025 partisi untuk , 34.459.425 partisi untuk juga dapat dihasilkan, tetapi bukan partisi 654.729.075 untuk (pada laptop 16 GB saya).Beberapa hal lain perlu diperhatikan. Pertama, untuk variabel Gaussian dengan non-zero mean harus dimungkinkan untuk mendapatkan ekspresi juga dari teorema Isserlis '. Kedua, tidak jelas (bagi saya) apakah rumus di atas kuat terhadap penyimpangan dari normalitas, yaitu, jika dapat digunakan sebagai perkiraan bahkan jika variabel multivariat tidak terdistribusi secara normal. Ketiga, meskipun formula di atas benar, patut dipertanyakan berapa banyak varian mengatakan tentang distribusi produk. Bahkan untuk distribusi produk cukup leptokurtik, dan untuk lebih besar dengan cepat menjadi sangat leptokurtik.kk=2 k
sumber