Hubungan antara koefisien korelasi phi, Matthews dan Pearson

Apakah koefisien korelasi phi dan Matthews konsep yang sama? Bagaimana mereka terkait atau setara dengan koefisien korelasi Pearson untuk dua variabel biner? Saya menganggap nilai biner adalah 0 dan 1.

---

Korelasi Pearson antara dua variabel acak Bernoulli dan y adalah:$x$$y$

$$\rho = \frac{\mathbb{E} [(x - \mathbb{E}[x])(y - \mathbb{E}[y])]} {\sqrt{\text{Var}[x] \, \text{Var}[y]}} = \frac{\mathbb{E} [xy] - \mathbb{E}[x] \, \mathbb{E}[y]}{\sqrt{\text{Var}[x] \, \text{Var}[y]}} = \frac{n_{1 1} n - n_{1\bullet} n_{\bullet 1}}{\sqrt{n_{0\bullet}n_{1\bullet} n_{\bullet 0}n_{\bullet 1}}}$$

dimana

$$\mathbb{E}[x] = \frac{n_{1\bullet}}{n} \quad \text{Var}[x] = \frac{n_{0\bullet}n_{1\bullet}}{n^2} \quad \mathbb{E}[y] = \frac{n_{\bullet 1}}{n} \quad \text{Var}[y] = \frac{n_{\bullet 0}n_{\bullet 1}}{n^2} \quad \mathbb{E}[xy] = \frac{n_{11}}{n}$$

---

Koefisien Phi dari Wikipedia:

Dalam statistik, koefisien phi (juga disebut sebagai "koefisien kontingensi kuadrat rata-rata" dan dilambangkan dengan atau r ϕ ) adalah ukuran asosiasi untuk dua variabel biner yang diperkenalkan oleh Karl Pearson. Ukuran ini mirip dengan koefisien korelasi Pearson dalam interpretasinya. Bahkan, koefisien korelasi Pearson diperkirakan untuk dua variabel biner akan mengembalikan koefisien ...$\phi$$r_\phi$

Jika kita memiliki tabel 2 × 2 untuk dua variabel acak dan $x$$y$

$x$$y$

$$\phi = \frac{n_{11}n_{00} - n_{10}n_{01}}{\sqrt{n_{1\bullet}n_{0\bullet}n_{\bullet0}n_{\bullet1}}}$$

Koefisien korelasi Matthews dari Wikipedia:

$$\text{MCC} = \frac{ TP \times TN - FP \times FN } {\sqrt{ (TP + FP) (TP + FN) (TN + FP) (TN + FN) } }$$

Dalam persamaan ini, TP adalah jumlah positif sejati, TN jumlah negatif sejati, FP jumlah positif palsu, dan FN jumlah negatif palsu. Jika salah satu dari empat jumlah dalam penyebut adalah nol, penyebut dapat secara sewenang-wenang ditetapkan menjadi satu; ini menghasilkan koefisien korelasi Matthews nol, yang dapat ditunjukkan sebagai nilai pembatas yang benar.

Ya, mereka sama. Koefisien korelasi Matthews hanyalah aplikasi tertentu dari koefisien korelasi Pearson ke tabel kebingungan.

Tabel kontingensi hanyalah ringkasan dari data yang mendasarinya. Anda dapat mengonversinya kembali dari jumlah yang ditampilkan di tabel kontingensi ke satu baris per pengamatan.

Perhatikan contoh matriks kebingungan yang digunakan dalam artikel Wikipedia dengan 5 positif sejati, 17 negatif sejati, 2 positif palsu, dan 3 negatif palsu

> matrix(c(5,3,2,17), nrow=2, byrow=TRUE)
     [,1] [,2]
[1,]    5    3
[2,]    2   17
> 
> # Matthews correlation coefficient directly from the Wikipedia formula
> (5*17-3*2) / sqrt((5+3)*(5+2)*(17+3)*(17+2))
[1] 0.5415534
> 
> 
> # Convert this into a long form binary variable and find the correlation coefficient
> conf.m <- data.frame(
+ X1=rep(c(0,1,0,1), c(5,3,2,17)),
+ X2=rep(c(0,0,1,1), c(5,3,2,17)))
> conf.m # what does that look like?
   X1 X2
1   0  0
2   0  0
3   0  0
4   0  0
5   0  0
6   1  0
7   1  0
8   1  0
9   0  1
10  0  1
11  1  1
12  1  1
13  1  1
14  1  1
15  1  1
16  1  1
17  1  1
18  1  1
19  1  1
20  1  1
21  1  1
22  1  1
23  1  1
24  1  1
25  1  1
26  1  1
27  1  1
> cor(conf.m)
          X1        X2
X1 1.0000000 0.5415534
X2 0.5415534 1.0000000

$\mathbb{E}[xy]$$\displaystyle \frac{n_{\bullet 1}n_{1\bullet}}{n^2}$

$$\frac{n_{11}}{n} \times 1 \times 1 + \frac{n_{10}}{n}\times 1 \times 0 + \frac{n_{01}}{n} \times 0 \times 1 + \frac{n_{00}}{n} \times 0 \times 0 = \frac{n_{11}}{n}$$

$\rho = \phi$

$$n_{11} n - n_{1\bullet} n_{\bullet 1} = n_{11} (n_{01} + n_{10} + n_{11} + n_{00}) - (n_{11} + n_{10}) (n_{11} + n_{01}) \\ = n_{11} n_{00} - n_{10} n_{01}$$