Matriks kovarian untuk proses Gaussian dan distribusi Wishart

Yang tercampur aduk adalah spesifikasi kovarian dalam hal ruang sekitar tempat proses Gaussian didefinisikan, dan operasi yang mengubah variabel acak Gaussian dimensi terbatas hingga menghasilkan distribusi Wishart.

Jika adalah variabel acak Gaussian dimensi (vektor kolom) dengan mean 0 dan matriks kovarians , distribusi adalah distribusi Wishart . Perhatikan bahwa adalah matriks . Ini adalah hasil umum tentang bagaimana bentuk kuadrat mengubah distribusi Gaussian ke distribusi Wishart. Itu berlaku untuk setiap pilihan matriks kovarians positif pasti . Jika Anda memiliki pengamatan pertama $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $p$ $\Sigma$ $\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$ $W_p(\Sigma, 1)$ $\mathbf{W}$ $p \times p$

x \mapsto x x^{T}

$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$

Σ

$\Sigma$

X_{1}, \dots, X_{n}

$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$ kemudian dengan distribusi adalah Wishart -distribusi. Dibagi dengan kita mendapatkan matriks kovarians empiris perkiraan .

W_{i} = X_{i} X_{i}^{T}

$\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$

W_{1} + \dots + W_{n}

$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$

W_{p} (Σ, n)

$W_p(\Sigma, n)$

n

$n$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Untuk proses Gaussian ada ruang ambient, katakanlah untuk ilustrasi bahwa itu adalah , sehingga variabel acak yang dipertimbangkan diindeks oleh elemen di ruang ambient. Yaitu, kami mempertimbangkan proses . Ini adalah Gaussian (dan untuk kesederhanaan, di sini dengan mean 0) jika distribusi marginal dimensi terbatasnya adalah Gaussian, yaitu, jika untuk semua . Pilihan fungsi kovarians , sebagaimana disebutkan oleh OP, menentukan matriks kovarians, yaitu, $\mathbb{R}$ $(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) := (X (x_{1}), \dots, X (x_{p}))^{T} \sim N (0, Σ (x_{1}, \dots, x_{p}))

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$

x_{1}, \dots, x_{p} \in R

$x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$

cov (X (x_{i}), X (x_{j})) = Σ (x_{1}, \dots, x_{p})_{i, j} = K (x_{i}, x_{j}) .

$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$ Mengabaikan pilihan distribusi akan menjadi Wishart -distribusi.

K

$K$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) X (x_{1}, \dots, x_{p})^{T}

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$

W_{p} (Σ (x_{1}, \dots, x_{p}), 1)

$W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$

NRH
sumber

Terima kasih telah menjawab ini. Saya punya beberapa pertanyaan, reg. jawaban Anda -Ketika Anda mengatakan transformasi yang mengubah Gaussian dist ke Wishart dist untuk setiap pilihan + ve cov matrix pasti, apa pilihan yang berbeda yang kita miliki untuk matriks cov ini? Juga, hanya untuk memperjelas- untuk matriks cov yang didefinisikan oleh fungsi cov, i dan j menunjukkan elemen dalam ruang sekitar dari Proses Gaussian (untuk misalnya jika itu adalah proses temporal, waktu misalnya t_1 dan t_2)?

mantap ikan

@steadyfish, ya, indeks dan merujuk ke titik dan di ruang sekitar, dan untuk proses temporal ke dua titik waktu. Matriks kovarian selalu positif (semi) pasti. Formulasi tidak dimaksudkan untuk membatasi hasil dengan cara apa pun, melainkan untuk menekankan bahwa ia berlaku untuk setiap pilihan selama adalah matriks kovarians. Saya mengabaikan kemungkinan bahwa dapat menjadi semidefinite untuk menghindari mengacaukan jawaban dengan masalah yang tidak relevan pada distribusi normal tunggal dll.

i

$i$

j

$j$

x_{i}

$x_i$

x_{j}

$x_j$

Σ

$\Sigma$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

NRH

Terima kasih @NRH. Saya mendapatkan poin tentang ruang sekitar. Tentang matriks kovarian, pertanyaan saya adalah apakah ada cara lain untuk mendefinisikan matriks kovarians selain dari (dan bukan tentang properti semidefinit positif pasti atau positif). (Saya harap pertanyaannya jelas kali ini!)

x^{T} x

$x^{T}x$

steadyfish

@steadyfish, oh, begitu. Bahkan, saya ceroboh dengan transposisi dan apakah vektor-vektor itu adalah vektor baris atau kolom. Saya telah membuat yang tepat sekarang dan menambahkan sedikit tentang hubungan antara matriks kovarians empiris dan matriks kovarians teoritis. Teoritis tidak didefinisikan dalam hal pengamatan.

NRH

Matriks kovarian untuk proses Gaussian dan distribusi Wishart

Jawaban: