Pertimbangkan sampel independen diperoleh dari variabel acak yang diasumsikan mengikuti distribusi terpotong (mis. Distribusi terpotong ) dari nilai minimum dan maksimum yang diketahui (hingga) dan tetapi dari parameter yang tidak diketahui dan . Jika mengikuti distribusi non-terpotong, estimator kemungkinan maksimum dan untuk dan dari akan menjadi rata-rata sampelS Xb μ σ 2 X μ σ 2 μ σ 2 S μ = 1dan varians sampel . Namun, untuk distribusi terpotong, varians sampel yang didefinisikan dengan cara ini dibatasi oleh sehingga tidak selalu merupakan penduga yang konsisten: untuk , ia tidak dapat konvergen dalam probabilitas untuk saat menuju tak terhingga. Jadi tampaknya dan bukan penduga kemungkinan maksimum dari dan untuk distribusi terpotong. Tentu saja, ini diharapkan sejak dan(b-a)2σ2>(b-a)2σ2N μ σ 2μσ2μσ2 parameter dari distribusi normal terpotong bukan berarti dan variansnya.
Jadi, apa yang merupakan penduga kemungkinan maksimum dari parameter dan dari distribusi terpotong dari nilai minimum dan maksimum yang diketahui?σ
Jawaban:
Pertimbangkan setiap keluarga lokasi skala ditentukan oleh "standar" distribusi ,F
Dengan asumsi dibedakan kami dengan mudah menemukan bahwa PDF adalah 1F .1σf( ( x - μ ) / σ) dx
Memotong distribusi ini untuk membatasi dukungan mereka antara dan b , a < b , berarti bahwa PDF diganti olehSebuah b a < b
(dan nol untuk semua nilai ) di mana C ( μ , σ , a , b ) = F ( μ , σ ) ( b ) - F ( μ , σ ) ( a ) adalah faktor normalisasi yang diperlukan untuk memastikan bahwa f ( μ , σ ; a , b ) berintegrasi menjadi satu. (Perhatikan bahwa C identik 1x C( μ , σ, a , b ) = F( μ , σ)( b ) - F( μ , σ)(a) f(μ,σ;a,b) C 1 karena tidak adanya pemotongan.) Karena itu kemungkinan log untuk data iid adalahxi
Poin kritis (termasuk global minimum) ditemukan di mana (kasus khusus yang akan saya abaikan di sini) atau gradiennya hilang. Menggunakan subskrip untuk menunjukkan turunan, kita dapat secara formal menghitung gradien dan menuliskan persamaan kemungkinan sebagaiσ=0
Karena dan b telah diperbaiki, lepaskan dari notasi dan tulis n C μ ( μ , σ , a , b ) / C ( μ , σ , a , b ) sebagai A ( μ , σ ) dan n C σ ( μ , σ , a , b ) / C ( μ , σ , aSebuah b n C.μ( μ ,σ, a , b ) /C( μ ,σ, a , b ) A ( μ ,σ) sebagai B ( μ , σ ) . (Tanpa pemotongan, kedua fungsi akan sama dengan nol.) Memisahkan istilah yang melibatkan data dari yang lainnya berikann C.σ( μ ,σ, a , b ) /C( μ ,σ, a , b ) B ( μ ,σ)
Dengan membandingkan ini dengan situasi tanpa pemotongan jelaslah
Statistik yang cukup untuk masalah awal cukup untuk masalah terpotong (karena sisi kanan tidak berubah).
Kemampuan kita untuk mencari solusi bentuk tertutup bergantung pada tractability dari dan B . Jika ini tidak melibatkan μ dan σ dengan cara sederhana, kami tidak bisa berharap untuk mendapatkan solusi bentuk tertutup secara umum.A B μ σ
Untuk kasus keluarga normal, tentu saja diberikan oleh PDF normal kumulatif, yang merupakan perbedaan fungsi kesalahan: tidak ada kemungkinan solusi bentuk-tertutup dapat diperoleh dalam umum. Namun, hanya ada dua statistik yang cukup (rata-rata sampel dan varians akan dilakukan) dan CDF semulus mungkin, sehingga solusi numerik akan relatif mudah diperoleh.C(μ,σ,a,b)
sumber