Korelasi yang diperoleh untuk variabel acak lognormal

19

Pertimbangkan variabel acak lognormal dan dengan , dan .X1X2log(X1)N(0,1)log(X2)N(0,σ2)

Saya mencoba menghitung dan untuk \ rho (X_1, X_2) . Satu langkah dalam solusi yang saya miliki adalah:ρmaxρminρ(X1,X2)

ρmax=ρ(exp(Z),exp(σZ)) dan ρmin=ρ(exp(Z),exp(σZ)) ,

tetapi mereka telah membuat beberapa referensi untuk comonotonicity dan countercomonotonicity. Saya berharap seseorang membantu saya memahami bagaimana mereka relevan. (Saya tahu cara mendapatkan ini dari ekspresi umum tetapi ingin tahu secara khusus apa yang dikatakan bagian-bagian comonotonicity.)

Pk.yd
sumber
8
Siapa mereka"?
whuber

Jawaban:

25

Saya akan mulai dengan memberikan definisi comonotonicity dan countermonotonicity . Kemudian, saya akan menyebutkan mengapa ini relevan untuk menghitung koefisien korelasi minimum dan maksimum yang mungkin antara dua variabel acak. Dan akhirnya, saya akan menghitung batas-batas ini untuk variabel acak lognormal X1 dan X2 .

Comonotonicity dan countermonotonicity
Variabel acak X1,,Xd dikatakan comonotonic jika kopula mereka adalah Fréchet batas atas M.(kamu1,...,kamud)=min(kamu1,...,kamud) , yang merupakan yang terkuat jenis ketergantungan "positif".
Dapat ditunjukkan bahwa X1,...,Xd adalah comonotonic jika dan hanya jika

(X1,...,Xd)=d(h1(Z),...,hd(Z)),
mana Z adalah beberapa variabel acak, h1,...,hd meningkatkan fungsi, dan =dmenunjukkan kesetaraan dalam distribusi. Jadi, variabel acak komonotonik hanya fungsi dari variabel acak tunggal.

Variabel acak dikatakan countermonotonic jika kopula mereka adalah Fréchet lower bound , yang merupakan tipe terkuat dari ketergantungan "negatif" di kasus bivariat. Countermonotonocity tidak menggeneralisasi ke dimensi yang lebih tinggi. Dapat ditunjukkan bahwa adalah countermonotonic jika dan hanya jika mana adalah beberapa variabel acak, dan dan masing-masing merupakan fungsi yang meningkat dan menurun, atau sebaliknya.X1,X2 X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z h 1 h 2W(kamu1,kamu2)=maks(0,kamu1+kamu2-1)
X1,X2

(X1,X2)=d(h1(Z),h2(Z)),
Zh1h2

Korelasi yang dapat
Biarkan dan menjadi dua variabel acak dengan varians yang benar-benar positif dan terbatas, dan biarkan dan menunjukkan koefisien korelasi minimum dan maksimum yang mungkin antara dan . Maka, bisa ditunjukkan ituX 2 ρ min ρ maks X 1 X 2X1X2ρminρmaksX1X2

  • X 1 X 2ρ(X1,X2)=ρmin jika dan hanya jika dan adalah countermonotonic;X1X2
  • X 1 X 2ρ(X1,X2)=ρmaks jika dan hanya jika dan comonotonic.X1X2

Korelasi yang dapat diperoleh untuk variabel acak lognormal
Untuk mendapatkan kita menggunakan fakta bahwa korelasi maksimum diperoleh jika dan hanya jika dan adalah comonotonic. Variabel acak dan mana adalah comonotonic karena fungsi eksponensial adalah fungsi (ketat) yang meningkat, dan karenanya . X 1 X 2 X 1 = e Z X 2 = e σ Z Z N ( 0 , 1 ) ρ maks = c o r r ( e Z , e σ Z )ρmaksX1X2X1=eZX2=eσZZN(0,1)ρmaks=cHairr(eZ,eσZ)

Menggunakan properti variabel acak lognormal , kami memiliki , , , , dan kovariansnya adalah Jadi, E ( e σ Z ) = e σ 2 / 2 v a r ( e Z ) = e ( e - 1 ) v a r ( e σ Z ) = e σ 2 ( e σ 2 - 1 ) c o v ( e ZE(eZ)=e1/2E(eσZ)=eσ2/2vSebuahr(eZ)=e(e-1)vSebuahr(eσZ)=eσ2(eσ2-1)ρ maks

cHaiv(eZ,eσZ)=E(e(σ+1)Z)-E(eσZ)E(eZ)=e(σ+1)2/2-e(σ2+1)/2=e(σ2+1)/2(eσ-1).
ρmaks=e(σ2+1)/2(eσ-1)e(e-1)eσ2(eσ2-1)=(eσ-1)(e-1)(eσ2-1).

Perhitungan serupa dengan menghasilkan ρ minX2=e-σZ

ρmin=(e-σ-1)(e-1)(eσ2-1).

Komentar
Contoh ini menunjukkan bahwa ada kemungkinan untuk memiliki sepasang variabel acak yang sangat tergantung - comonotonicity dan countermonotonicity adalah jenis ketergantungan terkuat - tetapi yang memiliki korelasi yang sangat rendah. Bagan berikut menunjukkan batas-batas ini sebagai fungsi dari .σ

masukkan deskripsi gambar di sini

Ini adalah kode R yang saya gunakan untuk menghasilkan grafik di atas.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)
QuantIbex
sumber
7
(+6) Eksposisi menyeluruh yang bagus dan diilustrasikan dengan baik. Sangat menarik bahwa upaya untuk mengkonfirmasi grafik Anda melalui simulasi akan hancur ketika jauh lebih besar dari karena koefisien korelasi sampel sangat bervariasi (karena kemungkinan mendapatkan satu nilai yang sangat tinggi , yang akan memiliki leverage tinggi) . Itu menempatkan nilai lebih tinggi dari biasanya pada analisis teoritis yang solid. 3 X 2σ3X2
whuber
5
Eksposisi ini merupakan adaptasi dari Contoh 2.1 (hal. 23) dari M. Denuit dan J. Dhaene (2003), karakterisasi sederhana dari comonotonicity dan countermonotonicity oleh korelasi ekstrim , Buletin Aktuaria Belgia , vol. 3, 22-27.
kardinal
3
@ kardinal Saya tidak mengetahui artikel ini, terima kasih. Referensi potensial lainnya termasuk ebooks.cambridge.org/… atau McNeil, AJ, Frey, R. dan Embrechts, P. (2005). Manajemen Risiko Kuantitatif: Konsep, Teknik dan Peralatan. Princeton: Princeton University Press.
QuantIbex
2
Contohnya kembali ke setidaknya RD De Veaux (1976), Batas atas dan bawah yang ketat untuk korelasi distribusi bivariat yang muncul dalam model polusi udara , Tech. Laporan 5, Departemen Statistik, Universitas Stanford. Lihat Bagian 3 mulai dari halaman 6. Alat-alat yang mendasarinya diketahui oleh Hoeffding.
kardinal
@ QuantIbex dalam bukti Anda, ada sesuatu yang tidak jelas bagi saya. Anda pertama kali mengklaim bahwa dan adalah comonotonic jika dan hanya jika distribusi gabungannya sama dengan , untuk meningkat, dll., Tetapi ketika Anda menerapkan hasil ini ke lognormal random variabel, Anda mengatakan bahwa ini menyiratkan bahwa variabel acak itu sendiri sedemikian rupa sehingga dan , yaitu, tampaknya Anda menerapkan klaim pada variabel acak sendiri, bukan hanya distribusinya. Bagaimana itu? X 2 ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) h 1 , h 2 X 1 = e Z X 1 = e σ ZX1X2(h1(Z),h2(Z))h1,h2X1=eZX1=eσZ
RandomGuy