Asumsikan X = ~ dimana .
Bagaimana cara menghitung harapan bersyarat dimana dan Apakah statistik pesanan terkecil dan terbesar masing-masing?
Pikiran pertama saya adalah bahwa karena statistik pesanan membatasi rentang, itu sederhana , tetapi saya tidak yakin apakah ini benar!
mathematical-statistics
expected-value
uniform
conditional-expectation
order-statistics
N. Quizitive
sumber
sumber
Jawaban:
Pertimbangkan kasus sampel iidX1,X2,…,Xn dari Seragam(0,1) distribusi. Penskalaan variabel-variabel ini denganθ dan menerjemahkannya dengan θ memberi mereka Seragam(θ,2θ) distribusi. Segala sesuatu yang relevan dengan masalah ini berubah dengan cara yang sama: statistik pesanan dan harapan bersyarat. Dengan demikian, jawaban yang diperoleh dalam kasus khusus ini akan berlaku secara umum.
Membiarkan1<k<n. Dengan meniru alasan di https://stats.stackexchange.com/a/225990/919 (atau di tempat lain), temukan bahwa distribusi gabungan dari(X(1),X(k),X(n)) memiliki fungsi kepadatan
Pemasangan(x,z) dan melihat ini sebagai fungsi dari y, ini dikenali sebagai Beta(k−1,n−k) distribusi yang telah diskalakan dan diterjemahkan ke dalam interval [x,z]. Jadi, faktor skala harus z−x dan terjemahan dibutuhkan 0 untuk x.
Karena harapan Beta(k−1,n−k) distribusi adalah(k−1)/(n−1), kami menemukan bahwa harapan bersyarat dari X(k) harus menjadi skala, harapan yang diterjemahkan; yaitu,
Kasus-kasusk=1 dan k=n sepele: harapan bersyarat mereka, masing-masing, X(1) dan X(k).
Mari temukan ekspektasi jumlah semua statistik pesanan:
Aljabar turun untuk mendapatkan jumlah∑k=2n−1(k−1)=(n−1)(n−2)/2.
Jadi
Akhirnya, karenaXi didistribusikan secara identik, mereka semua memiliki harapan yang sama, dari mana
dengan solusi unik
It seems worth remarking that this result is not a sole consequence of the symmetry of the uniform distribution: it is particular to the uniform family of distributions. For some intuition, consider data drawn from a Beta(a,a) distribution with a<1. This distribution's probabilities are concentrated near 0 and 1 (its density has a U or "bathtub" shape). When X(n)<1/2, we can be sure most of the data are piled up close to X(1) and therefore will tend to have expectations less than the midpoint (X(1)+X(n))/2; and when X(1)>1/2, the opposite happens and most of the data are likely piled up close to X(n).
sumber
The following is not a proof but a verification of the desired result once you know that(X(1),X(n)) is a complete statistic for θ :
Joint pdf ofX1,X2,…,Xn is
SoT=(X(1),X(n)) is a sufficient statistic for θ . It can be shown that T is also a complete statistic by proceeding along these lines.
Then by Lehmann-Scheffe theorem,E[X1∣T] is the UMVUE of E(X1)=3θ2 .
Now,1θ(Xi−θ)∼i.i.dU(0,1) , so that 1θ(X(n)−θ)∼Beta(n,1) and 1θ(X(1)−θ)∼Beta(1,n) .
Therefore,E(X(n))=nθn+1+θ=(2n+1)θn+1 and E(X(1))=θn+1+θ=(n+2)θn+1 .
Hence,
This proves that12(X(1)+X(n)) is the UMVUE of 3θ2 by Lehmann-Scheffe.
Since UMVUE is unique whenever it exists, it verifies the claim thatE[X1∣T]=12(X(1)+X(n)) .
sumber