Ekspektasi bersyarat dari variabel acak seragam yang diberikan statistik pesanan

8

Asumsikan X =(X1,...,Xn) ~ U(θ,2θ)dimana θR+.

Bagaimana cara menghitung harapan bersyarat E[X1|X(1),X(n)]dimana X(1) dan X(n) Apakah statistik pesanan terkecil dan terbesar masing-masing?

Pikiran pertama saya adalah bahwa karena statistik pesanan membatasi rentang, itu sederhana (X(1)+X(n))/2, tetapi saya tidak yakin apakah ini benar!

N. Quizitive
sumber
1
Posting ini pada matematika SE bisa membantu
kjetil b halvorsen

Jawaban:

8

Pertimbangkan kasus sampel iid X1,X2,,Xn dari Seragam(0,1)distribusi. Penskalaan variabel-variabel ini denganθ dan menerjemahkannya dengan θ memberi mereka Seragam(θ,2θ)distribusi. Segala sesuatu yang relevan dengan masalah ini berubah dengan cara yang sama: statistik pesanan dan harapan bersyarat. Dengan demikian, jawaban yang diperoleh dalam kasus khusus ini akan berlaku secara umum.

Membiarkan 1<k<n. Dengan meniru alasan di https://stats.stackexchange.com/a/225990/919 (atau di tempat lain), temukan bahwa distribusi gabungan dari(X(1),X(k),X(n)) memiliki fungsi kepadatan

fk;n(x,y,z)=I(0xyz1)(yx)k2(zy)nk1.

Pemasangan (x,z) dan melihat ini sebagai fungsi dari y, ini dikenali sebagai Beta(k1,nk) distribusi yang telah diskalakan dan diterjemahkan ke dalam interval [x,z]. Jadi, faktor skala harus zx dan terjemahan dibutuhkan 0 untuk x.

Karena harapan Beta(k1,nk)distribusi adalah(k1)/(n1), kami menemukan bahwa harapan bersyarat dari X(k)harus menjadi skala, harapan yang diterjemahkan; yaitu,

E(X(k)X(1),X(n))=X(1)+(X(n)X(1))k1n1.

Kasus-kasus k=1 dan k=n sepele: harapan bersyarat mereka, masing-masing, X(1) dan X(k).

Mari temukan ekspektasi jumlah semua statistik pesanan:

E(k=1nX(k))=X(1)+k=2n1(X(1)+(X(n)X(1))k1n1)+X(n).

Aljabar turun untuk mendapatkan jumlah

k=2n1(k1)=(n1)(n2)/2.

Jadi

E(k=1nX(k))=(n1)X(1)+(X(n)X(1))(n1)(n2)2(n1)+X(n)=n2(X(n)+X(1)).

Akhirnya, karena Xi didistribusikan secara identik, mereka semua memiliki harapan yang sama, dari mana

nE(X1X(1),X(n))=E(X1)+E(X2)++E(Xn)=E(X(1))+E(X(2))++E(X(n))=n2(X(n)+X(1)),

dengan solusi unik

E(X1X(1),X(n))=(X(n)+X(1))/2.


It seems worth remarking that this result is not a sole consequence of the symmetry of the uniform distribution: it is particular to the uniform family of distributions. For some intuition, consider data drawn from a Beta(a,a) distribution with a<1. This distribution's probabilities are concentrated near 0 and 1 (its density has a U or "bathtub" shape). When X(n)<1/2, we can be sure most of the data are piled up close to X(1) and therefore will tend to have expectations less than the midpoint (X(1)+X(n))/2; and when X(1)>1/2, the opposite happens and most of the data are likely piled up close to X(n).

whuber
sumber
1

The following is not a proof but a verification of the desired result once you know that (X(1),X(n)) is a complete statistic for θ :

Joint pdf of X1,X2,,Xn is

fθ(x1,,xn)=1θn1θ<x(1),x(n)<2θ=1θn112x(n)<θ<x(1),θR+

So T=(X(1),X(n)) is a sufficient statistic for θ. It can be shown that T is also a complete statistic by proceeding along these lines.

Then by Lehmann-Scheffe theorem, E[X1T] is the UMVUE of E(X1)=3θ2.

Now, 1θ(Xiθ)i.i.dU(0,1), so that 1θ(X(n)θ)Beta(n,1) and 1θ(X(1)θ)Beta(1,n).

Therefore, E(X(n))=nθn+1+θ=(2n+1)θn+1 and E(X(1))=θn+1+θ=(n+2)θn+1.

Hence,

E[12(X(1)+X(n))]=12(n+1)((n+2)θ+(2n+1)θ)=3θ2

This proves that 12(X(1)+X(n)) is the UMVUE of 3θ2 by Lehmann-Scheffe.

Since UMVUE is unique whenever it exists, it verifies the claim that E[X1T]=12(X(1)+X(n)).

StubbornAtom
sumber
+1 This answer is nice because it reveals a deeper way to understand the exercise and what it can teach us.
whuber