Kovarian dari suatu variabel dan kombinasi linear dari variabel lain

Misalkan menjadi variabel deret waktu dan kovarian antara dua pasangan ini diketahui.$X,A,B,C,D$

Misalkan kita ingin mencari , di mana adalah konstanta.$\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$$a,b,c,d$

Apakah ada cara untuk melakukan ini tanpa memperluas ?$E[(X-E[X])(aA+......)]$

Apakah ada cara untuk melakukan ini tanpa memperluas ?$E[(X-E[X])(aA+......)]$

Iya. Ada sifat kovarians yang disebut bilinearitas yaitu kovarians kombinasi linear

$${\rm cov}(aX + bY, cW + dZ)$$

(di mana adalah konstanta dan adalah variabel acak) dapat didekomposisi sebagai$a,b,c,d$$X,Y,W,Z$

$$ac\cdot {\rm cov}(X,W) + ad\cdot {\rm cov}(X,Z) + bc\cdot {\rm cov}(Y,W) + bd\cdot {\rm cov}(Y,Z)$$

Dalam contoh yang Anda berikan, Anda dapat menggunakan properti ini untuk menulis sebagai$\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$

$$a\ {\rm cov}(X, A) +b\ {\rm cov}(X, B) +c\ {\rm cov}(X, C) +d\ {\rm cov}(X, D)$$