Hubungan empiris antara mean, median dan mode

Untuk distribusi unimodal yang cukup miring, kami memiliki hubungan empiris berikut antara rata-rata, median dan mode: Bagaimana hubungan ini berasal?

$$\text{(Mean - Mode)}\sim 3\,\text{(Mean - Median)}$$

Apakah Karl Pearson merencanakan ribuan hubungan ini sebelum membentuk kesimpulan ini, atau adakah garis logis alasan di balik hubungan ini?

Nyatakan mean ( ≠ rata-rata), m median, σ simpangan baku dan M mode. Akhirnya, biarkan X menjadi sampel, realisasi distribusi unimodal terus menerus F yang kedua saat pertama ada.$\mu$$\neq$$m$$\sigma$$M$$X$$F$

Sudah terkenal itu

$$|\mu-m|\leq\sigma\label{d}\tag{1}$$

Ini adalah latihan buku teks yang sering:

Kesetaraan pertama berasal dari definisi rata-rata, yang ketiga muncul karena median adalah pengecil unik (di antara semuac) dariE| X-c| dan yang keempat dari ketidaksetaraan Jensen (yaitu definisi fungsi cembung). Sebenarnya, ketidaksetaraan ini bisa diperketat. Bahkan, untukFapa pun, memenuhi persyaratan di atas, dapat ditunjukkan [3] itu

$$\begin{eqnarray} |\mu-m| &=& |E(X-m)| \\ &\leq& E|X-m| \\ &\leq& E|X-\mu| \\ &=& E\sqrt{(X-\mu)^2} \\ &\leq& \sqrt{E(X-\mu)^2} \\ &=& \sigma \end{eqnarray}$$ $c$$E|X-c|$$F$

$$|m-\mu|\leq \sqrt{0.6}\sigma\label{f}\tag{2}$$

Meskipun secara umum tidak benar ( Abadir, 2005 ) bahwa setiap distribusi unimodal harus memenuhi salah satu dari masih dapat ditunjukkan bahwa ketimpangan

$$M\leq m\leq\mu\textit{ or }M\geq m\geq \mu$$

$$|\mu-M|\leq\sqrt{3}\sigma\label{e}\tag{3}$$

berlaku untuk distribusi unimodal, persegi yang dapat diintegrasikan (terlepas dari kemiringan). Ini dibuktikan secara formal dalam Johnson dan Rogers (1951) meskipun buktinya tergantung pada banyak lemma tambahan yang sulit untuk dimasukkan di sini. Pergi melihat kertas aslinya.

---

Kondisi yang memadai untuk distribusi untuk memenuhi μ ≤ m ≤ M diberikan dalam [2]. Jika F :$F$$\mu\leq m\leq M$$F$

$$F(m−x)+F(m+x)\geq 1 \text{ for all }x\label{g}\tag{4}$$

maka . Selanjutnya, jika μ ≠ m , maka ketimpangannya sangat ketat. Distribusi Pearson Tipe I ke XII adalah salah satu contoh keluarga distribusi yang memuaskan ( 4 ) [4] (misalnya, Weibull adalah salah satu distribusi umum yang ( 4 ) tidak berlaku, lihat [5]).$\mu\leq m\leq M$$\mu\neq m$$(4)$$(4)$

Sekarang dengan asumsi bahwa memegang teguh dan wlog bahwa σ = 1 , kita memiliki 3 ( m - μ ) ∈ ( 0 , 3 $(4)$$\sigma=1$

$$3(m-\mu)\in(0,3\sqrt{0.6}] \mbox{ and } M-\mu\in(m-\mu,\sqrt{3}]$$

dan karena yang kedua dari dua rentang ini tidak kosong, tentu mungkin untuk menemukan distribusi yang pernyataannya benar (misalnya ketika ) untuk beberapa rentang nilai parameter distribusi tetapi tidak benar untuk semua distribusi dan bahkan tidak untuk semua distribusi yang memuaskan(4).$0<m-\mu<\frac{\sqrt{3}}{3}<\sigma=1$$(4)$

• [0]: Masalah Momen untuk Distribusi Unimodal. NL Johnson dan CA Rogers. The Annals of Statistics Matematika, Vol. 22, No. 3 (Sep., 1951), hlm. 433-439
• [1]: Ketimpangan Median-Mode-Rata: Contoh tandingan Karim M. Abadir Teori Ekonometrika, Vol. 21, No. 2 (Apr., 2005), hlm. 477-482
• [2]: WR van Zwet, Mean, median, mode II, Statist. Neerlandica, 33 (1979), hlm. 1--5.
• [3]: Mean, Median, dan Mode Distribusi Unimodal: Karakterisasi. S. Basu dan A. DasGupta (1997). Teori Probab. Appl., 41 (2), 210–223.
• [4]: Beberapa Keterangan Tentang Mean, Median, Mode Dan Skewness. Michikazu Sato. Jurnal Statistik Australia. Volume 39, Edisi 2, halaman 219–224, Juni 1997
• [5]: PT von Hippel (2005). Berarti, Median, dan Miring: Memperbaiki Aturan Buku Teks. Jurnal Statistik Pendidikan Volume 13, Nomor 2.

Paper chl menunjuk untuk memberikan beberapa informasi penting - menunjukkan bahwa itu tidak dekat dengan aturan umum (bahkan untuk variabel kontinu, mulus, "berperilaku baik", seperti Weibull). Jadi, meskipun mungkin kira-kira benar, namun seringkali tidak.

Jadi dari mana Pearson berasal? Bagaimana dia sampai pada perkiraan ini?

Untungnya, Pearson cukup banyak memberi tahu kita jawabannya sendiri.

Penggunaan pertama dari istilah "condong" dalam arti yang kita gunakan tampaknya adalah Pearson, 1895 [1] (tampaknya tepat di judul). Makalah ini juga tampaknya menjadi tempat ia memperkenalkan istilah mode (catatan kaki, hal345):

Saya merasa nyaman menggunakan istilah ini mode untuk absis yang sesuai dengan ordinat frekuensi maksimum. The "mean," the "mode," dan "median" memiliki semua karakter berbeda yang penting bagi ahli statistik.

Ini juga tampaknya merupakan perincian nyata pertamanya dari sistem kurva frekuensinya .

Jadi dalam membahas estimasi parameter bentuk di Pearson distribusi Type III (apa yang sekarang kita sebut bergeser - dan mungkin terbalik - gamma), katanya (hal375):

$p$$^\dagger$

$>1$

$\dagger$$x$

Dan memang, jika kita melihat rasio (mean-mode) ke (mean-median) untuk distribusi gamma, kami mengamati ini:

(Bagian biru menandai wilayah Pearson mengatakan bahwa perkiraannya masuk akal).

$\alpha$$\beta$

$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}=k$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}=c$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$

$\alpha>10$):

Seharusnya Pearson juga akrab dengan distribusi lognormal. Dalam hal ini mode, median dan mean masing-masing$e^{\mu-\sigma^2}, e^{\mu}$ dan $e^{\mu+\sigma^2/2}$; itu dibahas sebelum pengembangan sistemnya dan sering dikaitkan dengan Galton.

Mari kita lihat lagi (mean-mode) / (mean-median). Membatalkan faktor dari$e^{\mu}$ baik dari pembilang dan penyebut, kita pergi dengan $\frac{e^{\sigma^2/2}-e^{-\sigma^2}}{e^{\sigma^2/2}-1}$. Untuk urutan pertama (yang akan akurat kapan$\sigma^2$ kecil), pembilangnya akan $\frac{3}{2}\sigma^2$ dan penyebutnya $\frac{1}{2}\sigma^2$, jadi setidaknya untuk yang kecil $\sigma^2$ seharusnya juga berlaku untuk lognormal.

Ada cukup banyak distribusi terkenal - beberapa di antaranya Pearson kenal - yang hampir benar untuk berbagai nilai parameter; dia memperhatikannya dengan distribusi gamma, tetapi gagasan itu akan dikonfirmasi ketika dia datang untuk melihat beberapa distribusi lain yang mungkin akan dia pertimbangkan.

[1]: Pearson, K. (1895),
"Kontribusi Teori Matematika Evolusi, II: Variasi Kecondongan dalam Bahan yang Homogen,"
Transaksi Filsafat Masyarakat Kerajaan, Seri A, 186, 343-414
[Tidak Ada Hak Cipta. Tersedia secara bebas di sini ]

Hubungan ini tidak diturunkan. Itu diketahui sekitar memegang distribusi simetris dekat secara empiris . Lihat paparan Yule dalam The Introduction to the the theory of statistics , (1922), hal.121, Bab VII Bagian 20. Dia menyajikan contoh empiris.