Distribusi jumlah eksponensial

10

Membiarkan X1 dan X2 menjadi variabel acak eksponensial independen dan terdistribusi secara identik dengan rate λ. MembiarkanS2=X1+X2.

T: Tunjukkan ituS2 memiliki PDF fS2(x)=λ2xeλx,x0.

Perhatikan bahwa jika peristiwa terjadi sesuai dengan Proses Poisson (PP) dengan tingkat λ, S2 akan mewakili waktu acara ke-2.

Pendekatan alternatif dihargai. Pendekatan yang disediakan umumnya digunakan ketika mempelajari teori antrian & proses stokastik.


Ingat distribusi Eksponensial adalah kasus khusus dari distribusi Gamma (dengan parameter bentuk 1). Saya telah belajar ada versi yang lebih umum di sini yang dapat diterapkan.

SecretAgentMan
sumber
1
Pertanyaan ini adalah kasus yang sangat khusus (dan salah satu contoh paling sederhana yang mungkin) dari sejumlah distribusi Gamma. (Eksponensial adalah distribusi Gamma dengan parameter bentuk1.) Dengan demikian, Anda dapat menerapkan salah satu jawaban di stats.stackexchange.com/questions/72479 .
Whuber
1
Terima kasih. Saya tidak mengetahui pertanyaan yang lebih umum itu , meskipun saya tahu bahwa Eksponensial adalah distribusi Gamma dengan parameter bentuk 1. Saya harap Anda setuju bahwa T / A ini baik-baik saja apa adanya dan tidak boleh dihapus. Ini adalah pertanyaan yang sangat sering di beberapa disiplin ilmu teknik dan tentu saja lebih mudah diakses daripada langsung menambahkan distribusi Gamma.
SecretAgentMan
@whuber Saya sudah memperbarui pertanyaan secara khusus menyebutkan pertanyaan yang lebih umum. Terima kasih.
SecretAgentMan
1
Untuk alasan yang Anda berikan, dan karena Anda telah menawarkan akun yang jelas tentang solusi yang bekerja khusus dalam kasus ini, saya belum memilih untuk menutup ini sebagai duplikat.
Whuber
1
Saya pikir pemungutan suara untuk pertanyaan Anda dan jawaban Anda telah dengan jelas menunjukkan apa pendapat komunitas tentang utas ini. :-)
whuber

Jawaban:

10

Conditioning Approach
Kondisi pada nilaiX1. Mulai dengan fungsi distribusi kumulatif (CDF) untukS2.

FS2(x)=P(S2x)=P(X1+X2x)=0P(X1+X2x|X1=x1)fX1(x1)dx1=0xP(X1+X2x|X1=x1)λe-λx1dx1=0xP(X2x-x1)λe-λx1dx1=0x(1-e-λ(x-x1))λe-λx1dx1=(1-e-λx)-λxe-λx

Ini adalah CDF dari distribusi. Untuk mendapatkan PDF, bedakan sehubungan denganx( lihat disini ).

fS2(x)=λ2xeλx

Ini adalah Erlang(2,λ)distribusi (lihat di sini) .


Pendekatan Umum
Integrasi langsung dengan mengandalkan independensi PTX1 & X2. Sekali lagi, mulailah dengan fungsi distribusi kumulatif (CDF) untukS2.

FS2(x)=P(S2x)=P(X1+X2x)=P((X1,X2)A)(See figure below)=(x1,x2)AfX1,X2(x1,x2)dx1dx2(Joint distribution is the product of marginals by independence)=0x0xx2fX1(x1)fX2(x2)dx1dx2=0x0xx2λeλx1λeλx2dx1dx2

Karena ini adalah CDF, diferensiasi memberikan PDF, fS2(x)=λ2xeλx Angka


Pendekatan MGF Pendekatan
ini menggunakan fungsi penghasil momen (MGF).

MS2(t)=E[etS2]=E[et(X1+X2)]=E[etX1+tX2]=E[etX1etX2]=E[etX1]E[etX2](by independence)=MX1(t)MX2(t)=(λλt)(λλt)t<λ=λ2(λt)2t<λ

While this may not yield the PDF, once the MGF matches that of a known distribution, the PDF also known.

SecretAgentMan
sumber
4
You wrote both the question and the answer. What is your point, if I may ask?
Xi'an
8
@Xi'an, I thought SE encouraged asking the question and answering it...I can screenshot where SE seems to encourage that for you if you want. I've seen a lot of basic questions repeatedly asked and I've been thinking about posting some specific approaches to refer people to. I wasn't able to find something like this and I can refer people to this for a variety of things. If the CV community really hates this post that much, I will voluntarily delete it.
SecretAgentMan
2
@Xi'an, Respectfully, I believe you both asked and answered a question here.
SecretAgentMan
4
@Xi'an You may wish to read stats.stackexchange.com/help/self-answer
Sycorax says Reinstate Monica
1
@Alex good question. I wasn't thinking about getting PDF analytically from MGF. Instead, if you identify the MGF, then you've solved the problem (see my edit).
SecretAgentMan