Meskipun, Anda tidak memasukkan self-study
tag, saya pertama memberi Anda dua petunjuk dan kemudian solusi lengkap. Anda dapat berhenti membaca setelah petunjuk pertama atau kedua dan coba sendiri.
Petunjuk 1 :
Untuk a ∈ ( 0 , 1 ) kita punya
∑m = 0∞mSebuahm=Sebuah( 1 - a)2
Petunjuk 2 :
Membiarkan K menjadi jumlah angka yang ditarik oleh Mr. B. Dan biarkan "variabel target" Anda, E(Y1+ ... +YK| X= x ) dilambangkan dengan Z. Perhatikan, ini adalah variabel acak, bukan bilangan real (sejakKadalah variabel acak). Kemudian, dengan hukum total harapan,E( Z) = E( E( Z| K) ).
Solusi lengkap :
K mengikuti, seperti yang Anda sebutkan, distribusi geometris dengan probabilitas keberhasilan p = 1 -x2. Begitu
E( Z) = E( E( Z| K) ) =∑k = 1∞E( Z| K= k ) P( K= k )
dan
P( K= k ) = ( 1 - p)k - 1p =(x2)k - 1( 1 -x2)
.
Mari kita fokus E( Z| K= k ). SekarangE(Y1+ ... +Yk| X= x , K= k ). Perhatikan huruf kecilksini!!! SejakYIndependen sama dengan ini
E(Y1| X= x , K= k ) + ... + E(Yk| X= x , K= k )
.
Pengkondisian aktif X= x dan K= k maksudnya Y1, ... ,Yk - 1 diambil secara seragam dari [ 0 ,x2) dan Yk diambil secara seragam dari (x2, 1 ].
Begitu
E(Y1| X= x , K= k ) = ... = E(Yk - 1| X= x , K= k ) =x4
dan
E(Yk| X= x , K= k ) =1 +x22=2 + x4
Menyatukan semua ini:
E( Z| K= k ) = ( k - 1 )x4+2 + x4
Dan
E( Z) =∑k = 1∞( ( k - 1 )x4+2 + x4) P( K= k ) =∑k = 1∞( k - 1 )x4P( K= k ) +∑k = 1∞2 + x4P( K= k )
Bagian kedua mudah (kesetaraan terakhir menggunakan fakta bahwa jumlah fungsi massa probabilitas bertambah hingga 1):
∑k = 1∞2 + x4P( K= k ) =2 + x4∑k = 1∞P( K= k ) =2 + x4
Untuk mendapatkan ini, Anda juga dapat menggunakan fakta, bahwa B selalu mengambil satu nomor terakhir (x2, 1 ], berapa pun nilainya K ambil.
Bagian pertama hanya sedikit lebih sulit:
∑k = 1∞( k - 1 )x4P( K= k ) =∑k = 1∞( k - 1 )x4(x2)k - 1( 1 -x2)
Pindahkan segala sesuatu yang tidak bergantung k dalam jumlah bukan untuk mendapatkan:
x4( 1 -x2)∑k = 1∞( k - 1 )(x2)k - 1
Memperkenalkan m = k - 1:
x4( 1 -x2)∑m = 0∞m(x2)m
Gunakan petunjuk 1 dengan a =x2:
x4( 1 -x2)x2( 1 -x2)2
Untuk akhirnya mendapatkannya
x28(1−x2)=x28(2−x2)=x24(2−x)
Dan tambahkan bagian kedua (yang mudah):
x24(2−x)+2+x4=x24(2−x)+(2+x)(2−x)4(2−x)=x2+(4−x2)4(2−x)=44(2−x)=12−x
WHOAH !!!!
Sudut lain dari solusi (penjumlahan bukan dengan P (K = k) tetapi P (K> = k)):
sumber