Misalkan adalah deret waktu dengan , ( dan - mirip dengan itu untuk , tetapi berubah ketika dummy = 1). dan , . Dalam pengaturan dunia nyata ini akan menjadi pengembalian pasar saham berkala atas perusahaan (tetapi Anda dapat mengabaikan ini). Ada dummy, yang sama dengan unity over dan sama dengan nol jika tidak. Model deret waktu yang diperkirakan dengan OLS adalah:
Model ini umumnya mengikuti asumsi Gauss-Markov untuk setiap . Namun, kami memiliki untuk semua dan .
Langkah selanjutnya adalah membangun vektor gammas menggunakan estimasi model . Panggil vektor ini . Kami kemudian menggunakan ini dalam model cross-sectional:
di mana adalah beberapa variabel cross-sectional yang tidak menyebabkan pelanggaran dalam asumsi OLS dan relevan untuk menjelaskan \ hat {\ gamma} _i .
Klaim dalam literatur ekonometrik yang diterapkan adalah bahwa dalam model mengarah ke (i) mengarah ke (i) Tidak ada masalah untuk estimasi koefisien OLS dalam , tetapi (ii) Bias kesalahan standar dalam .
Dapatkah seseorang mem-posting ide tentang mengapa hal ini terjadi?
Saya tidak mengerti apa yang dalam ekspresi . Tentu saja adalah skalar dan Anda tidak dapat mengubah skalar. Ini terlihat di SINI , di mana mereka menerapkan metodologi ini.
Jawaban:
Untuk memastikan Anda perlu masuk ke detail, ini berarti membandingkan matriks kovarians varians yang sebenarnya dengan yang Anda dapatkan di tahap ols kedua.
Yang benar :
Ini dapat diperoleh dengan mengganti eq.2 menjadi eq.1, OLS yang dikumpulkan mengikuti, dan dari itu, yang benara^,b^ matriks varians kovarians:
Menggunakan notasi matriks untuk membagi persamaan dalamγ parameter dan lainnya mengarah ke:
di mana kami tertarikV(γ^) , γ=[ab] , Z adalah vektor dua kolom Z= [DtDtZsaya][ I = 1 , . . , N; t = 1 , . . . , T] (struktur serupa mendefinisikan X tetapi ini tidak menarik) dan di mana V( ε ) = Σ memiliki struktur penuh antara kovarian perusahaan sehingga tidak diagonal (σ2sayaNT ) seperti dalam asumsi GAUSS-MARKOV. Dengan Frish-Waugh kami dapat mengekspresikanγ ols sebagai:
yang menyiratkan varian sebenarnya berikut:
Yang lain
Di bawah asumsi perusahaan yang tidak berkorelasi (dan periode waktu tetapi ini bukan masalahnya),Σ memiliki struktur diagonal yang lebih sederhana Δ . Ini artinyaΔ istilah segitiga adalah 0. Di bawah spesifikasi yang lebih sederhana, (yang diperkirakan secara default oleh perangkat lunak ekonometrik dan statistik untuk OLS) Σ mengikuti asumsi GAUSS-Markov yang berarti bahwa bahkan istilah diagonal sama dengan demikian Σ diturunkan menjadi σ2saya
Ini menyiratkan bahwa tidak mempertimbangkan korelasi antar perusahaan akan menyebabkanV(γ^) sebagai:
yang, seperti dapat dilihat, tidak sama dengan yang sebenarnya.
sumber
Saya memberikan jawaban lain dengan lebih detail.
Dalam model regresi linier standar (dalam bentuk matriks):
Estimasi OLS adalah sebagai berikut
Perbedaannya adalah
Asumsi biasa untuk regresi adalah itu
dimanaI adalah matriks identitas. Kemudian
Sekarang dalam kasus Anda, Anda memiliki dua model:
dan
dimana
Perhatikan bahwa Anda menyatakan model kedua untuk perkiraan dariγ , yang tidak biasa, maka saya menyatakan kembali dalam bentuk biasa, untuk "benar" γ .
Mari kita tuliskan matriks kovarians untuk estimasi koefisien OLSc :
Masalahnya adalah bahwa kita tidak memperhatikanΓ . Kami mengamati taksiranΓ^ . γ^i adalah bagian dari vektor
Asumsikan bahwaδi bersifat acak dan independen dengan ϵi dan Mi . Ini tentu berlaku untukγi jadi kami tidak kehilangan apa pun jika kami memperluas ini untuk elemen lain dari δi .
Mari kita susun semuaδ^i di atas satu sama lain:
dan menjelajahi varians dariδ^ :
Asumsikan bahwaVar(ϵi)=σ2ϵI dan itu EϵiϵTj=0 . Untuki≠j kita punya
Untuk elemen diagonal yang kita miliki
Mari kita kembali ke varianc^ . Karena kita gantikanΓ^ dari pada Γ variansnya adalah sebagai berikut
Kita bisa mengekstrakVar(Γ^) dari Var(δ^) dengan memilih elemen yang sesuai:
dimanagi adalah elemen dari σ2ϵ(MTiMi)−1 sesuai dengan Var(γ^i) . Setiapgi berbeda dengan gj karena mereka sesuai dengan yang berbeda Xit dan Xjt yang tidak dianggap sama.
Jadi kita mendapatkan hasil yang mengejutkan, bahwa secara aljabar bahkan jika kita mengasumsikan semua sifat yang diperlukan, matriks kovarians yang dihasilkan setidaknya secara aljabar tidak akan sama dengan matriks kovarians OLS biasa, karena untuk itu kita memerlukan ituVar(Γ^) adalah matriks identitas waktu konstan yang jelas tidak.
Semua rumus di atas diturunkan dengan asumsi ituXij konstan, sehingga mereka tergantung pada Xij . Ini berarti kita benar-benar menghitungVar(Γ^|X) . Dengan menempatkan asumsi tambahanXij , Saya pikir akan mungkin untuk menunjukkan bahwa varian tanpa syarat adalah OK.
Asumsi independensi ditempatkan padaϵi bisa juga santai untuk tidak berkorelasi.
Juga dimungkinkan untuk menggunakan studi simulasi untuk melihat bagaimana perbedaan matriks kovarians jika kita gunakanΓ^ dari pada Γ .
sumber
Saya pikir masalahnya terletak pada definisi model kedua. Saya pikir diasumsikan demikian
dengan asumsi biasa itu
yaitu bahwaγi tidak berkorelasi jika kita mengendalikan Zi . Sekarang ketika Anda menggantiγ^ dari pada γ , Anda perlu memeriksa apakah asumsi tersebut berlaku, yaitu jika
Sekarang
dimanaL adalah beberapa fungsi linear. Aman untuk mengasumsikan ituϵit independen dari Zi , tapi jika Eϵitϵjt≠0 , asumsi yang diperlukan tidak berlaku.
Karena asumsi tidak berkorelasi adalah penting untuk perhitungan statistik OLS biasa, ini memberikan alasan mengapa kesalahan standar bias.
Ini adalah garis besar kasar, tapi saya pikir ide itu akan berhasil jika Anda akan masuk ke rincian sepele mesin OLS.
sumber