Seragam PDF perbedaan dua rv

Apakah mungkin untuk memiliki perbedaan PDF dari dua tampilan iid rv seperti persegi panjang (bukan, katakanlah, segitiga yang kita dapatkan jika rv diambil dari distribusi seragam).

yaitu apakah mungkin untuk PDF f dari jk (untuk dua iid rv diambil dari beberapa distribusi) memiliki f (x) = 0,5 untuk semua -1 <x <1?

Tidak ada batasan pada distribusi yang kami ambil j dan k kecuali bahwa min adalah -1 dan maks adalah 1.

Setelah beberapa percobaan, saya pikir ini mungkin tidak mungkin.

Teorema: Tidak ada $\text{Dist}$ distribusi yang $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ ketika $A, B \sim \text{IID Dist}$ .

---

Bukti: Pertimbangkan dua variabel acak $A, B \sim \text{IID Dist}$ dengan fungsi karakteristik umum $\varphi$ . Yang menunjukkan perbedaan mereka dengan $D=A-B$ . Fungsi karakteristik dari perbedaan adalah:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

(Baris keempat dari kerja ini mengikuti dari fakta bahwa fungsi karakteristik adalah Hermitian .) Sekarang, mengambil $D \sim \text{U}(-1,1)$ memberikan bentuk spesifik untuk $\varphi_D$ , yaitu:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

$\text{Dist}$$\varphi$

$$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$$

$\blacksquare$

Ini adalah pendapat insinyur listrik tentang masalah ini, dengan sudut pandang yang lebih cocok untuk dsp.SE daripada stats.SE, tetapi tidak masalah.

$X$$Y$$f(x)$$Z$$X-Y$

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$$ $f_Z(z)$$z=0$$f_Z$$f$$z=0$$Z$ $f_Z$$f_Z$$f_Z$ adalah kepadatan yang seragam mengarah ke kontradiksi dan asumsi itu pasti salah.

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$$X$$Y$$Z$$X$$Y$$X$$Y$