Apakah stasioneritas dipertahankan di bawah kombinasi linear?

12

Bayangkan kita memiliki dua proses deret waktu, yang diam, menghasilkan: .xt,yt

Apakah , juga stasioner?zt=αxt+βytα,βR

Bantuan apa pun akan dihargai.

Saya akan mengatakan ya, karena memiliki representasi MA.

Seorang lelaki tua di laut.
sumber
1
Mengapa dijamin sebagai MA? ada proses AR yang stabil. Either way, jika Anda berbicara tentang stabilitas BIBO, maka ya jumlahnya relatif stabil karena Anda dapat menghitung batas baru. Stabilitas juga berlaku karenalimtzt=αlimtxt+βlimtyt
Steve Cox
Terkait dengan beberapa perluasan: Catatan dalam analisis numerik, Anda menggunakan apa yang disebut sebagai preconditioner (transformasi linear tertentu) untuk mendapatkan stabilitas sehingga saya ragu jawabannya adalah ya.
Surb

Jawaban:

26

Mungkin mengejutkan, ini tidak benar. (Namun, kemandirian dari dua seri waktu itu akan menjadi kenyataan.)

Saya mengerti "stabil" berarti diam, karena kata-kata itu tampaknya digunakan secara bergantian dalam jutaan klik pencarian, termasuk setidaknya satu di situs kami .

Untuk contoh tandingan, misalkan adalah deret waktu stasioner tidak konstan yang setiap tidak bergantung pada , dan yang distribusi marjinalnya simetris di sekitar . MenetapkanX t X s s t , 0XXtXsst,0

Yt=(1)tXt.

! [Gambar 1: plot X, Y, dan (X + Y) / 2 seiring waktu

Plot-plot ini menunjukkan bagian dari tiga seri waktu yang dibahas dalam posting ini. disimulasikan sebagai serangkaian undian independen dari distribusi Normal standar.X

Untuk menunjukkan bahwa adalah stasioner, kita perlu menunjukkan bahwa distribusi gabungan dari untuk setiap tidak bergantung pada . Tapi ini mengikuti langsung dari simetri dan independensi . ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , , Y s + t n ) t 1 < t 2 < < t n s X tY(Ys+t1,Ys+t2,,Ys+tn)t1<t2<<tnsXt

Gambar menunjukkan beberapa lintas-plot Y

Ini scatterplots lag (untuk urutan nilai 512 ) menggambarkan pernyataan bahwa distribusi bivariat bersama adalah seperti yang diharapkan: independen dan simetris. (A "lagged scatterplot" menampilkan nilai terhadap ; nilai ditunjukkan.)Y Y t + s Y t s = 0 , 1 , 2YYYt+sYts=0,1,2

Namun demikian, memilih , kami milikiα=β=1/2

αXt+βYt=Xt

bahkan untuk dan sebaliknyat

αXt+βYt=0.

Karena adalah tidak konstan, jelas kedua ekspresi ini memiliki distribusi yang berbeda untuk dan , di mana deret tidak stasioner. Warna pada gambar pertama menyoroti ketidakstabilan ini dalam dengan membedakan nilai nol dari yang lainnya.t t + 1 ( X + Y ) / 2 ( X + Y ) / 2Xtt+1(X+Y)/2(X+Y)/2

whuber
sumber
1
Kemandirian dari dua seri waktu jelas merupakan kondisi yang cukup. Tapi bukankah persyaratan yang lebih lemah untuk stationaritas bersama juga cukup?
Dilip Sarwate
1
Ya, itu benar @Dilip. Terima kasih atas pengamatannya.
whuber
5

Pertimbangkan proses dua dimensi

wt=(xt,yt)

Jika benar-benar stasioner, atau jika tidak, proses dan secara bersama - sama stasioner , maka proses yang dibentuk oleh fungsi terukur juga akan sangat stasioner.( y t )(xt)(yt)f:=f(xt,yt),f:R2R

Dalam contoh @ whuber yang kita miliki

wt=(xt,(1)txt)

Untuk memeriksa apakah ini benar-benar diam, kita harus terlebih dahulu mendapatkan distribusi probabilitasnya. Asumsikan variabel benar-benar kontinu. Untuk beberapa , kami punya c RwtcR

Prob(Xtc,(1)tXtc)={Prob(Xtc,Xtc)t is evenProb(Xtc,Xtc)t is odd

={Prob(Xtc)t is evenProb(cXtc)t is odd

Prob(Xtc,(1)tXtc)={Prob(Xtc)t is evenProb(|Xt|c)t is odd

Tetap dengan contoh whuber, dua cabang adalah distribusi probabilitas yang berbeda karena memiliki simetris distribusi sekitar nol. xt

Sekarang untuk menguji stasioneritas yang ketat, menggeser indeks dengan nomor keseluruhan . Kita punyak>0

Prob(Xt+kc,(1)tXt+kc)={Prob(Xt+kc)t+k is evenProb(|Xt+k|c)t+k is odd

Untuk stasioneritas yang ketat, kita harus memilikinya

Prob(Xtc,(1)tXtc)=Prob(Xt+kc,(1)tXt+kc),t,k

Dan kami tidak memiliki persamaan ini , karena, katakanlah, jika adalah genap dan adalah ganjil, maka adalah ganjil, dalam hal init,ktkt+k

Prob(Xtc,(1)tXtc)=Prob(Xtc)

sementara

Prob(Xt+kc,(1)tXt+kc)=Prob(|Xt+k|c)=Prob(|Xt|c)

Jadi kita tidak memiliki stasioneritas yang ketat bersama , dan kemudian kita tidak memiliki jaminan tentang apa yang akan terjadi pada fungsi . f(xt,yt)

Saya harus menunjukkan bahwa ketergantungan antara dan , adalah yang diperlukan tetapi tidak cukup untuk hilangnya stasioneritas bersama yang ketat. Ini adalah asumsi tambahan ketergantungan pada indeks yang melakukan pekerjaan.xtytyt

Mempertimbangkan

qt=(xt,θxt),θR

Jika seseorang melakukan pekerjaan sebelumnya untuk seseorang akan menemukan bahwa patungan yang ketat berlaku di sini.(qt)

Ini adalah berita bagus karena untuk proses yang bergantung pada indeks dan tetap stasioner bukan di antara asumsi pemodelan yang perlu kita buat sangat sering. Oleh karena itu dalam praktiknya, jika kita memiliki stasioneritas ketat marjinal, kita berharap juga stasioneritas ketat bersama bahkan di hadapan ketergantungan (meskipun kita tentu saja harus memeriksa.)

Alecos Papadopoulos
sumber
2

Saya akan mengatakan ya, karena memiliki representasi MA.

Satu pengamatan. Saya pikir memiliki representasi MA menyiratkan stasioneritas yang lemah, tidak yakin apakah itu menunjukkan stasioneritas yang kuat.

oneloop
sumber
1
Re "Saya tidak bisa membayangkan": silakan lihat jawaban saya untuk contoh tandingan.
whuber
oneloop, lepaskan bagian yang terkait dengan stasioneritas yang ketat, dan biarkan saja yang terkait dengan stasioneritas lemah. Saya akan memberi Anda +1, karena itu juga membantu saya. ;)
Seorang lelaki tua di laut.
@Anoldmaninthesea. Seperti ini?
oneloop
ya seperti itu. Representasi MA menyiratkan stasioneritas yang lemah, memang.
Seorang pria tua di laut.
1
Ini secara otomatis ditandai sebagai kualitas rendah, mungkin karena sangat pendek. Saat ini lebih merupakan komentar daripada jawaban oleh standar kami. Bisakah Anda mengembangkannya? Anda juga dapat mengubahnya menjadi komentar.
gung - Reinstate Monica