Poin teknis tentang konvergensi dengan harapan bersyarat

8

Saya memiliki urutan variabel non-negatif seperti: Xn

E(Xn|Cn)=Cnn2

di mana adalah urutan variabel acak yang konvergen hampir pasti ke .Cn1

Bisakah saya menyimpulkan cenderung ke 0 hampir pasti?Xn

Catatan: Anda dapat mengganti dengan urutan apa pun dengan jumlah terbatas. Pertanyaannya pada dasarnya tetap sama dan jawaban yang diberikan oleh Jason sama saja (lihat argumen Borel-Cantelli).1n2

Benoit Sanchez
sumber

Jawaban:

9

Ya, hampir pasti. Xn0Argumen yang saya miliki sedikit berbelit-belit, jadi bersabarlah.

Pertama, pertimbangkan peristiwa . Dengan konvergensi hampir pasti dari maka , dan karena kita memiliki . Jadi cukup untuk menunjukkan bahwa seperti dalam , untuk setiap .Fk=nk{Cn>2}CnP(kFk)=0F1F2P(Fk)0Xn0Fkck

Sekarang perbaiki dan a . Menggunakan notasi untuk mewakili , yang kita miliki untuk Ini adalah bagian kunci. (Perhatikan juga, bahwa kami menggunakan nonnegativitas pada langkah pertama, untuk lulus dari ke acara yang lebih besar ) Dari sini kita hanya perlu beberapa cukup teoretis argumen argumen.kε>0E[X;A]E[X1A]nk

E[Xn;Fkc]E[Xn;Cn2]=E[E(Xn|Cn);Cn2]=E[Cn/n2;Cn2]2/n2.
XnFkcCn2

Batas di atas, bersama dengan nonnegativitas , menyiratkan bahwa (untuk ), sehingga XnP(Fkc{Xn>ε})2n2εnk

nkP(Fkc{Xn>ε})<.

Dengan Borel-Cantelli Lemma sekarang kita dapat mengatakan bahwa peristiwa memiliki probabilitas nol. Karena adalah arbiter, ini kita seperti pada .

Fkc{Xn>εfor infinitely many n}
εXn0Fkc
Jason
sumber
Ini bisa sangat sedikit diubah untuk menunjukkan bahwa untuk eksponen pada sehingga , , menurut saya. αnα>1Xn0 a.s.
jbowman
Terima kasih banyak. OlehE(X;A) maksudmu E(X|A) atau E(X1A)?
Benoit Sanchez
Maksudmu E(X1A):-) Mungkin Anda harus menyebutkannya. Segalanya tampak benar bagi saya, bagus! Jujur, saya tidak berpikir ada bukti yang lebih sederhana.
Benoit Sanchez
Benar, Benoit, maksudku E(X1A). Saya akan mengedit untuk menjelaskan hal itu.
Jason
0

Set Zn=Xn/Cn. KemudianE[Zn]=1/n2 dan Zn0. Dengan ketidaksetaraan Markov, P(Zn>ϵ)E[Zn]/ϵ=1/(n2ϵ) yang memiliki jumlah terbatas, oleh Borel Cantelli, P(Zn>ϵ infinitely often)=0 dan Zn0 hampir pasti.

Jika Zn0 hampir pasti dan Cn1 hampir pasti saat itu Xn=ZnCn0 hampir pasti.

sial
sumber