Penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian variabel acak normal didefinisikan dengan baik, tetapi bagaimana dengan operasi trigonometri?
Sebagai contoh, mari kita anggap bahwa saya sedang berusaha mencari sudut baji segitiga (dimodelkan sebagai segitiga sudut kanan) dengan dua dimensi catheti memiliki dan d 2 , baik digambarkan sebagai distribusi normal.
Baik intuisi maupun simulasi memberi tahu saya bahwa distribusi yang dihasilkan normal, dengan rata-rata . Tetapi apakah ada cara untuk menghitung distribusi sudut yang dihasilkan? Referensi di mana saya akan menemukan jawabannya?
(Untuk sedikit konteks, saya sedang mengerjakan toleransi statistik bagian-bagian mekanik. Dorongan pertama saya adalah mensimulasikan seluruh proses, memeriksa apakah hasil akhirnya cukup normal, dan menghitung standar deviasi. Tapi saya bertanya-tanya jika mungkin ada pendekatan analitis yang lebih rapi.)
Jawaban:
Dalam interpretasi ini, segitiga adalah segitiga siku-siku panjang sisi dan Y didistribusikan secara biner dengan harapan μ x dan μ y , standar deviasi σ x dan σ y , dan korelasi ρ . Kami mencari distribusi arctan ( Y / X ) . Untuk tujuan ini, standarisasi X dan Y sehinggaX Y μx μy σx σy ρ arctan(Y/X) X Y
dan Y = σ y η + μ y
dengan dan η varian normal standar dengan korelasi ρ . Biarkan θ menjadi sudut dan untuk kenyamanan tulis q = tan ( θ ) . Kemudianξ η ρ θ q=tan(θ)
Sisi kiri, yang merupakan kombinasi linear dari Normals, adalah normal, dengan rata-rata dan varians σ 2 y + q 2 σ 2 x - 2 q ρ σ x σ y .μyσy−qμxσx σ2y+q2σ2x−2qρσxσy
Membedakan cdf Normal dari parameter ini sehubungan denganθ yields the pdf of the angle. The expression is fairly grisly, but a key part of it is the exponential
showing right away that the angle is not normally distributed. However, as your simulations show and intuition suggests, it should be approximately normal provided the variations of the side lengths are small compared to the lengths themselves. In this case a Saddlepoint approximation ought to yield good results for specific values ofμx , μy , σx , σy , and ρ , even though a closed-form general solution is not available. The approximate standard deviation will drop right out upon finding the second derivative (with respect to θ ) of the logarithm of the pdf (as shown in equations (2.6) and (3.1) of the reference). I recommend a computer algebra system (like MatLab or Mathematica) for carrying this out!
sumber
You are looking at circular statistics and in particular a circular distribution called the projected normal distribution.
For some reason this topic can be a little hard to google, but the two major texts on circular statistics are The Statistical Analysis of Circular Data by Fisher and Directional Statistics by Mardia and Jupp.
For a thorough analysis of the projected normal distribution see page 46 of Mardia and Jupp. There are closed form expressions (up to the error function integral) for the distribution, and as whuber has suggested, it looks similar to the normal when its `variance' (careful here, what does variance mean for a random variable on a circle?!) is small, i.e. when the distribution is quite concentrated at one point (or direction or angle).
sumber