Jumlah kombinasi linear dari produk eksponensial adalah eksponensial

Masalah ini telah muncul dalam penelitian saya: anggaplah bahwa adalah distribusi eksponensial (ED) iid dengan mean dan biarkan menjadi nomor non-negatif. Benarkah Ini melewati pemeriksaan kewarasan, karena nilai yang diharapkan dari kedua belah pihak sama dengan , dan jika kita membiarkan , maka sisi kiri sama dengan , yang eksponensial. Selain itu, saya tidak yakin bagaimana mendekati masalah ini, karena saya tidak tahu bagaimana menangani produk ED.$V_i \sim \text{ED}$$1$$\lambda$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}V_{0} \cdots V_k}{k!} \sim \text{ED}?$$ $1$$\lambda = 0$$V_0$

Bukan jawaban yang lengkap, maaf, tetapi beberapa ide (untuk merindukan komentar). Perhatikan bahwa yang Anda miliki adalah produk dari iid variabel acak, di mana adalah variabel acak (rv) dengan distribusi poisson dengan parameter . Itu dapat digunakan untuk "pemeriksaan kewarasan" lain, simulasi (menggunakan eksponensial tingkat 1):$K+1$$K$$\lambda$

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

Hasilnya qqplot(tidak diperlihatkan di sini) jauh dari garis lurus, jadi ini tidak terlihat sebagai eksponensial dari nilai 1. Rata-rata benar, varians ke besar, ada ekor kanan jauh lebih lama daripada eksponensial. Apa yang bisa dilakukan secara teoritis? Transformasi Mellin https://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transform disesuaikan dengan produk dari variabel acak independen. Saya akan menghitung hanya untuk eksponensial dengan laju 1. Transformasi Mellin dari kemudian adalah sehingga transformasi Mellin dari produk eksponensial adalah Sejak$V_0$

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M_1(s) = \E V_0^s = \int_0^\infty x^s e^{-x}\; dx = \Gamma(s+1)$$ $k+1$ $$M_{k+1}(s) = \Gamma(s+1)^{k+1}$$ $K$memiliki distribusi poisson dengan parameter , transformasi Mellin dari produk acak dari bilangan acak faktor , adalah tetapi saya tidak dapat menemukan kebalikan dari transformasi ini. Tetapi perhatikan bahwa jika adalah variabel acak nonnegatif dengan Mellin mengubah , maka mendefinisikan kita menemukan bahwa sehingga transformasi Mellin dari adalah fungsi penghasil momen dari logaritma$\lambda$$K+1$ $$M(s) = \E M_{K+1}(s) = \E \Gamma(s+1)^{K+1}= \Gamma(s+1)e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\Gamma(s+1)^k=e^{-\lambda}\Gamma(s+1) e^{\lambda \Gamma(s+1)}$$ $X$$M_X(t)$$Y=\log X$ $$K_Y(t)=\E e^{tY} = \E e^{t\log X}=\E e^{\log (X^t)}=\E X^t =M_X(y)$$ $X$$Y$. Jadi, dengan menggunakan itu kita dapat memperkirakan distribusi dengan metode pendekatan saddlepoint, Bagaimana cara kerja pendekatan saddlepoint? dan cari situs ini.$X$