Apakah

Apakah menyiratkan independensi X dan Y ?$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$$X$$Y$

Saya hanya akrab dengan definisi independensi antara dan Y berikut .$X$$Y$

$$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$$

Mari kita mulai dengan intuisi. Kemiringan biasa kuadrat regresi setidaknya dari terhadap h ( X ) , untuk setiap fungsi h , sebanding dengan kovarians dari h ( X ) dan Y . Asumsinya adalah bahwa semua regresi semuanya nol (bukan hanya yang linier). Jika Anda membayangkan ( X , Y ) diwakili oleh awan titik (benar-benar, awan probabilitas kerapatan), maka tidak masalah bagaimana Anda mengirisnya secara vertikal dan menyusun ulang irisan (yang melakukan pemetaan, $Y$$h(X)$$h$$h(X)$$Y$$(X,Y)$$h$$Y$

$$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$$

$$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$$

$$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$$

Kami dapat menampilkan probabilitas ini sebagai sebuah array

$$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$$

$1/10$$-1,0,1$

$$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$$ $$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$$ $$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$$

$Y$$X=0$$X=\pm 1$$Y$$X$

$27$