Misalkan non-pusat terdistribusi secara eksponensial dengan lokasi dan rate . Lalu, apa itu .
Saya tahu bahwa untuk , jawabannya adalah mana adalah konstanta Euler-Mascheroni. Bagaimana dengan kapan ?
mean
expected-value
integral
Neil G
sumber
sumber
Assumptions
Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]
. Anda bisa menyalinnya dan menempelkannya di file .nb. Saya tidak yakin apakah Wolfram Alpha memungkinkan untuk menyertakan pembatasan.Jawaban:
Integral yang diinginkan dapat digarap menjadi submisi oleh manipulasi brute-force; di sini, kami malah mencoba memberikan derivasi alternatif dengan rasa yang sedikit lebih probabilistik.
Biarkan menjadi variabel acak eksponensial noncentral dengan parameter lokasi dan parameter tingkat . Kemudian mana .X∼Exp(k,λ) k>0 λ X=Z+k Z∼Exp(λ)
Perhatikan bahwa dan sebagainya, menggunakan fakta standar untuk menghitung ekspektasi variabel acak non-negatif , Tetapi, pada sejak jadi mana persamaan terakhir mengikuti dari substitusilog(X/k)≥0
Integral pada ukuran kanan tampilan terakhir hanya menurut definisi dan begitu seperti yang dikonfirmasikan oleh perhitungan Mathematica @ Procrastinator dalam komentar untuk pertanyaan.Γ(0,λk)
NB : Notasi setara juga sering digunakan sebagai pengganti .E1(x) Γ(0,x)
sumber